dp基礎關於LIS LCS LCIS 的一些總結

lis：（最長遞增子串行）

dp思路：dp[i] 為0到第i項的最長遞增子串行長度。

dp[i] = max(dp[j])+1 a[j] < a[i]

dp[0] = a[0];
for( int i = 1 ; i < n ; i++ )
}}

二分優化：

if( a[i] > dp[tot1] )else

注意：dp[i]儲存的是長度為i時最長遞增子串行的最小結尾。陣列整個儲存的並不是最長遞增子串行。

如果想要輸出最長遞增子串行，可以使用第一種未使用二分優化的寫法，加乙個記錄前面節點的陣列。

下面是乙個示例程式：（輸出需要回溯）

#include using namespace std;
const int ax = 1e5+6;
int dp[ax];
int a[ax];
int pre[ax];
void print( int x )
cout << a[x] << endl; 
}int main()
dp[0] = 1;
int tot = 0;
int index ;
memset( pre , -1 , sizeof(pre) ) ;
for( int i = 1 ; i < n ; i++ )
}} if( tot < dp[i] )
} cout << tot << endl;
print(index);
return 0 ;
}

lcs：最長公共子串行

dp[i][j]表示a字串的前i項與b字串的前j項匹配所得到的最長公共子串行長度。

dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1 ; a[i] == b[j]

dp[i][j] = max(dp[i-1][j] , dp[i][j-1]) ; a[i] != b[j]

#include using namespace std;
const int ax = 1e3+6;
int dp[ax][ax];
char res[ax];
int main()else dp[i][j] = max( dp[i-1][j] , dp[i][j-1] );
} }cout << dp[la][lb] << endl;
int i = la , j = lb;
int tot = 0 ;
while( i >= 1 && j >= 1 )elseelse
} }for( int k = tot - 1 ; k >= 0 ; k-- )cout << endl;
return 0 ;
}

滾動陣列優化空間：

for( int i = 1 ; i <= la ; i ++ )else dp[i%2][j] = max( dp[(i-1)%2][j] , dp[i%2][j-1] );
} }

lcis ：最長公共上公升子串行

dp[i][j] 表示以 a 序列的前 i 項， b 序列的前 j 項，並且以 b[j] 為結尾的 lcis 的長度。

如果a[i] ！= b[j] 那麼只能a[i]之前的數與 b[j]配對。

如果a[i] == b[j] ,那麼dp[i][j]就是前面最長序列的長度+1

因此可得轉移方程：

dp[i][j] = dp[i-1][j] ; a[i] != b[j]

dp[i][j] = max( dp[i-1][k] ) + 1 a[i] == b[j] (1 <= k <= j - 1 && b[j] > b[k])

這個演算法最關鍵的是，如果按照乙個合理的遞推順序，max(f[i-1][k])的值我們可以在之前訪問f[i][k]的時候通過維護更新乙個max變數得到。怎麼得到呢？首先遞推的順序必須是狀態的第一維在外層迴圈，第二維在內層迴圈。也就是算好了f[1][len(b)]再去算f[2][1]。如果按照這個遞推順序我們可以在每次外層迴圈的開始加上令乙個max變數為0，然後開始內層迴圈。當a[i]>b[j]的時候令max=f[i-1][j]。如果迴圈到了a[i]==b[j]的時候，則令f[i][j]=max+1。

for( int i = 1 ; i <= n ; i++ )
if( a[i-1] == b[j-1] )
}} int res = 0;
for( int i = 1 ; i <= m ; i++ )

那麼如何輸出lcis序列呢？其實跟輸出最長遞增子串行類似：

首先增設乙個pre的二維陣列，（最長遞增子串行設定乙個一維即可），記錄到當前狀態是接在誰後面得來的。

每次得到a，b相等時，記錄前一狀態。

for( int i = 1 ; i <= n ; i++ )
}if( a[i-1] == b[j-1] )
} }

輸出：先找到最後末尾匹配的點p，然後得出整個序列。

int p;
for( int i = 1 ; i <= m ; i++ )
} for( int i = n - 1 , j = p , k = res ; k > 0 ; i-- )
} cout << res << endl;
for( int i = 0 ; i < res ; i++ )

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