nim博弈的原題：
問題1：
今有若干堆火柴，兩人依次從中拿取，規定每次只能從一堆中取若干根， 可將一堆全取走，但不可不取，最後取完者為勝，求必勝的方法。
定義：若所有火柴數異或為0，則該狀態被稱為利他態，用字母t表示；否則， 為利己態，用s表示。
注意：這篇博文是先定義s和t，再通過它們的性質推出結論。
[定理1]：對於任何乙個s態，總能從一堆火柴中取出若干個使之成為t態。
證明：若有n堆火柴，每堆火柴有a(i)根火柴數，那麼既然現在處於s態， c = a(1) xor a(2) xor … xor a(n) > 0;
把c表示成二進位制，記它的二進位制數的最高位為第p位，則必然存在乙個a(t),它二進位制的第p位也是1。
（否則，若所有的a(i)的第p位都是0，這與c的第p位就也為0矛盾）。
那麼我們把x = a(t) xor c,則得到x < a(t).這是因為既然a(t)的第p位與c的第p位同為1,那麼x的第p位變為0,而高於p的位並沒有改變。
所以x < a(t).而
a(1) xor a(2) xor … xor x xor … xor a(n)
= a(1) xor a(2) xor … xor a(t) xor c xor … xor a(n)
= a(1) xor a(2) xor… xor a(n) xor a(1) xor a(2) xor … xor a(n)
= 0這就是說從a(t)堆中取出 a(t) - x 根火柴後狀態就會從s態變為t態。證畢
。[定理2]：t態，取任何一堆的若干根，都將成為s態。
證明：用反證法試試。
若c = a(1) xor a(2) xor … xor a(i) xor … xor a(n) = 0；
c' = a(1) xor a(2) xor … xor a(i') xor … xor a(n) = 0;
則有：c xor c' = a(1) xor a(2) xor … xor a(i) xor … xor a(n) xor a(1) xor a(2) xor … xor a(i') xor … xor a(n) = a(i) xor a(i') =0
進而推出a(i) = a(i')，這與已知矛盾。所以命題得證。
[定理 3]：s態，只要方法正確，必贏。
最終勝利即由s態轉變為t態，任何乙個s態，只要把它變為t態，（由定理1，可以把它變成t態。）對方只能把t態轉變為s態(定理2)。這樣，所有s態向t態的轉變都可以有己方控制，對方只能被動地實現由t態轉變為s態。因為全零屬於t態，故s態必贏。（不能單單從對稱拿取來考慮這個問題。例如a=b xor c，然後求sg這種情況。因為證不出來。。定理1只是說存在這種情況，並沒有說對稱拿取。）
[定理4]：t態，只要對方法正確，必敗。
由定理3易得。
反尼姆博弈
問題2：
今有若干堆火柴，兩人依次從中拿取，規定每次只能從一堆中取若干根， 可將一堆全取走，但不可不取，最後取完者為負，求必勝的方法。
定義：若一堆中僅有1根火柴，則被稱為孤單堆。若大於1根，則稱為充裕堆
定義：t態中，若充裕堆的堆數大於等於2，則稱為完全利他態，用t2表示；若充裕堆的堆數等於0，則稱為部分利他態，用t0表示。
孤單堆的根數異或只會影響二進位制的最後一位，但充裕堆會影響高位（非最後一位）。乙個充裕堆，高位必有一位不為0，則所有根數異或不為0。故不會是t態。
同上s表示異或和》0,t表示異或和為0
[定理5]：s0態，即僅有奇數個孤單堆，必敗。t0態必勝。
s0表示異或和》0且無充裕堆(只有孤單堆) => 因為孤單堆只會影響二進位制的最後一位，
所以當異或和》0時說明僅有奇數個孤單堆 於是必敗(比如有3個孤單堆，先手肯定把最後乙個給拿走，先手必輸。)
同理，t0表示異或和為0且無充裕堆 => 於是一定僅有偶數個孤單堆。(後手一定把最後乙個給拿走，先手必勝。)
[定理6]：s1態，只要方法正確，必勝。
s1態表示異或和》0，且有1個充裕堆。注:不存在t1態，因為有乙個充裕堆的時候，其異或值一定不為0（充裕堆會影響高位）
有兩個操作
1.當孤單堆為奇數的時候，先手只需要將唯一的充裕堆給全拿走。後手就進入了s0態。先手必勝！
2.當孤單堆為偶數的時候，先手只需要將唯一的充裕堆拿的只剩下乙個。後手又進入裡s0態。先手必勝！
[定理7]：s2態不可轉一次變為t0態。
充裕堆數量不可能一次從2個變成1個
[定理8]：s2態可一次轉變為t2態。
由定理1可證明s態一定可以通過某種操作變成t態。
又由定理7可以得知s2態不可能變成t0態，且不存在t1態，於是只能變成t2態。
[定理9]：t2態，只能轉變為s2態或s1態。
由定理7可以得知，2個充裕堆不可能一次變成0個
又由定理二可以得知t態通過任意的變化都要變成s態
於是t2態只能變成s2態或者s1態
[定理10]：s2態，只要方法正確，必勝.
方法如下：
1） s2態，就把它變為t2態。（由定理8）
2） 對方只能t2轉變成s2態或s1態（定理9）
若轉變為s2, 轉向1）
若轉變為s1, 這己必勝。（定理6）
[定理11]：t2態必輸。
證明同定理10
先手只能將t2變成s1或s2
1）s1態 後手勝！
2）s2態 後手將s2變成t2，先手重新選擇。
所以：必勝態：t0,s1,s2
必敗態：s0,t2
比較2題
t0（第一題做法）。哪一方控制了s1態，他即可以有辦法使自己得到最後一根**變為
t0）,
也可以使對方得到最後一根**變為s0）。
所以，搶奪s1是制勝的關鍵！
為此，始終把t2態讓給對方，將使對方處於被動狀態，他早晚將把狀態變為s1.
例題
hdu1907
反nim博弈原題
#includeusing namespace std;
int main()
if(ans)
else
}return 0;
}
反尼姆博弈
#includeusing namespace std;
int main()
if(ans)
else
}return 0;
}
Anti Nim博弈原理與證明
anti nim博弈是nim博弈的變形，它的定義是 給定 n 堆物品，第 i 堆物品有 a i 個，兩人輪流取，每次可以任選一堆取走任意多個物品，可以取光但不能不取，最後把物品全部取完者失敗 判斷先手是否有必勝策略 先手必勝當且僅當 每堆的物品數都為 1 且nim和為 0 有些堆的物品數大於 1 且...
博弈論 Nim博弈 反Nim博弈 SG函式
nim遊戲 hdu1846 若各堆石子異或和為不為零，則先手勝 後手當且僅當異或和為零時取勝 此題問要想先手取勝第一步的取法，考慮到上述引理，只需遍歷一遍石子找到異或和的最高位匹配的個數。int a 105 int main return0 view code hdu 1848 在上題的基礎上取法只...
博弈論 Nim博弈
1.nim博弈的起源很早，至於歷史我們就不再說了，直接說它的使用場景。1 依舊是兩個人博弈，但是物品時n堆，每一堆有ai個。2 每個人可以挑選一堆取走若干個，但是不能不取。3 最先取完所有物品的人獲勝。4 結論 所以堆的物品的數量異或起來是0，先手必敗。2.乙個nim博弈的例項 nim博弈。乍一看這...