DAG 上的動態規劃

暫存~dag 上的動態規劃（訓練指南—大白書）

2023年11月04日 16:42:48

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有向無環圖（dag,directed acyclic graph）上的動態規劃是學習動態規劃的基礎。很多問題都可以轉化為dag上的最長路、最短路或路徑計數問題。

一、矩形巢狀

題目描述：

有n個矩形，每個矩形可以用兩個整數a,b描述，表示它的長和寬。矩形x(a,b)可以巢狀在矩形y(c,d)中當且僅當ad(i) = max

其中e為邊集，最終答案為d(i).那如果要求輸出字典序最小的最長路徑呢？那麼必須找到第乙個最長的路徑的值然後遞迴輸出。

**：

[cpp]

view plain

copy

#include

using

namespace

std ;

const

intmx = 1000 + 10 ;

intn ;

intg[mx][mx],dp[mx] ;

struct

node

t[mx] ;

void

buildgraph()

// 建圖

intdag(

intx)

// 記憶化求解

return

ans ;

} void

print(

intx)

// 列印路徑

} intmain()

intans=1 ;

buildgraph() ;

memset(dp,-1,sizeof

(dp)) ;

for(

inti=0 ;i

for(int

i=0 ;i// 尋找第乙個點

if(dp[i]==ans)

} return

0 ;

}

二、硬幣問題

題目描述：

有n種硬幣，面值分別為v1,v2...,vn,每種都有無限多。給定非負整數s，可以選用多少個硬幣，使得面值之和恰好為s？輸出硬幣數目的最小值和最大值。0 <= n <= 100, 0 <= s <= 10000, 1 <= vi <= s。

解題思路：

本題的本質還是dag上的路徑問題。我們把每種面值看作乙個點，表示"還需要湊足的面值"，則初始狀態為s，目標狀態為0。若當前的狀態i，每使用乙個硬幣j，狀態便轉移到i-vj。這個模型和巢狀矩形一題類似，但也有些明顯的不同之處：上題並沒有確定路徑的起點和終點（可以把任意矩形放在第乙個和最後乙個），而本題的起點必須是s，終點必須是0。把終點固定之後"最短路"才是有意義的。在巢狀矩形中，最短序列顯然是空（如果不允許空的話，就是單個矩形，不管怎樣都是平凡的），而本題的最短路徑卻不是那麼容易確定的。

接下來考慮"硬幣問題"。注意到最長路和最短路的求法是類似的，下面只考慮最長路。由於終點固定，d(i)的確切含義變為"從節點i出發到節點0的最長路徑長度"。

**：[cpp]

view plain

copy

#include

#define inf 1<<30

#define maxn 100+10

using

namespace

std ;

intv[maxn],n;

intmin[maxn],max[maxn];

inline

intmin(

inta,

intb)

//列印可行的方案

void

print_ans(

int* d,

ints)

} } int

main()

print_ans(min,s);

printf(" min\n"

);

print_ans(max,s);

printf(" max\n"

);

printf("min:%d max:%d\n"

,min[s],max[s]);

} return

}

分析：本質上市乙個dag上的路徑問題，我們把每種面值看做乙個點，表示還需湊足的面值，則初始狀態為0，目標狀態為0，若當前在i,則每使用一枚硬幣j，狀態轉移到i-vj。

**：[cpp]

view plain

copy

#include

#define n 1100

intv[n],min[n],max[n],min_coins[n],max_coins[n];

void

print_ans(

int*d,

ints,

intn)

printf("\n"

);

} int

main()

for(i=1;i<=s;i++)

if(max[i]

max[i]=max[i-v[j]]+1;

max_coins[i]=j;

} //max[i]=max[i]>(max[i-v[j]]+1)?max[i]:(max[i-v[j]]+1);

} }

} printf("%d %d\n"

,min[s],max[s]);

print_ans(min_coins,s,n);

print_ans(max_coins,s,n);

} return

}

上面的**中，如果不需要輸出路徑的話，則可以不要max_coins和min_coins陣列，下面在寫乙個遞迴的。

[cpp]

view plain

copy

#include

#define n 1100

intv[n],d[n],vis[n];

intdp(

ints,

intn)

void

print_ans(

ints,

intn)

} }

intmain()

memset(vis,0,sizeof

(vis));

vis[0]=1;

d[0]=0;//終點狀態藥初始化為0，訪問過

ans=dp(s,n);

printf("%d\n"

,ans);

print_ans(s,n);

printf("\n"

);

} return

}

只寫了求最長路徑的，如果要求最短路徑，則和最長路徑類似，在此省略。

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