本文以一道常見的演算法面試題開篇，引入動態規劃的基礎概念， 介紹其思考過程。
有乙個樓梯總共n個台階，只能往上走，每次只能上1個、2個台階，總共有多少種走法。
解決方案：
1、排列組合；
列舉2的個數，再列舉2具體放的位置；
計算複雜，容易遺漏。
2、動態規劃；
dp[n] 表示n個台階的走法，那麼有：
dp[n]=dp[n-1]+dp[n-2]；
思路清晰，**簡單。
1、動態規劃；
動態規劃（dynamic programming）指的是解最優化問題的一種方法。
2、最優子結構性質；
問題的最優解可以分解為若干子問題，且子問題的解也是最優的；
以上台階為例，到第i層的最多走法，可以分解為第i-1層和第i-2層的走法之和，且第i-1層和第i-2層的走法也是最多的；
3、 無後效性；
現階段的決策不會影響未來的決策；
以上台階為例，走到第i-2層的最多走法，不會因為增加第i-1層而改變；
動態規劃的思考過程可以總結為：大事化小，小事化了。
大事化小：
乙個較大的問題，通過找到與子問題的重疊，把複雜的問題劃分為多個小問題，也稱為狀態轉移；
小事化了：
小問題的解決通常是通過初始化，直接計算結果得到；
具體的步驟
1、將大問題分解為子問題
2、確定狀態表示
3、確定狀態轉移
4、考慮初始狀態和邊界情況
有如圖所示的數塔，要求從頂層走到底層，若每一步只能走到相鄰的結點，則經過的結點的數字之和最大是多少？
解決思路：
1、大事化小。要到達第i層，先要到達第i-1層。並且第i層的第j個節點，只能由i-1層的第j個和第j-1個節點到達。
我們用dp[i][j]表示，走到第i層第j個位置的數字最大和。
那麼有dp[i][j]=max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1]) + a[i][j];
2、小事化了。第1層的第1個節點，初始值為dp[1][1]=a[1][1]。（a[x][y]表示第x層，第y個的值）
平面上有n*m個格仔，每個格仔中放著一定數量的蘋果。
你從左上角的格仔開始，每一步只能向下走或是向右走，每次走到乙個格仔上就把格仔裡的蘋果收集起來。這樣下去，你最多能收集到多少個蘋果。
解決思路：
1、只能向右走或者向下走，要到達第i行第j列的格仔的時候，可以由第i-1行第j列或者第i行第j-1列到達，我們用dp[i][j]表示，走到第i行第j列的最多蘋果數，那麼有：
dp[i][j]=max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + a[i][j];
2、第1行第1列，初始值為dp[1][1]=a[1][1]，注意事項是邊界條件的處理。
給定n件物品和乙個容量為m的揹包，每件物品都會消耗揹包的一定容積c[i]，並帶來一定價值v[i]，要求如何選取裝入揹包中的物品，使得揹包內的物品價值最大。
解決思路：
把n件物品放入揹包，可以分解為「將前i件物品放入容量為m的揹包中」問題。
若只考慮第i件物品的選擇，那麼問題可以分為兩種情況：
1、如果不放第i件物品，問題就轉化為「前i-1件物品放入容量為v的揹包中」；
2、如果放第i件物品，問題就轉化為「前i-1件物品放入剩下的容量為m-c[i]的揹包中」；
我們用f[i][j]表示前i個物品，放入容量為j的揹包的最大價值，上面的兩種情況可以表示為
f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-c[i]]+v[i]);
初始化條件memset(dp, 0, sizeof(dp));和dp[1][c[1]]=v[1]。
最後遍歷f[n][1~m]可以得到最大值。
如果還不能完全理解01揹包，那麼還需要再仔細理解最優子結構、狀態表示和狀態轉移。
演算法能擴充套件思考方向，完善思維能力。學會「上台階」、「數塔」、「01揹包」這三個題目，能解決演算法面試的動態規劃部分。
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