動態規劃學習篇

最近在看牛客網的校招題目，發現很多公司的程式設計題都考了動態規劃裡面的知識，所以，專門抽個時間來學習一下。

首先，要用動態規劃演算法，得滿足以下幾個條件：

1.最優化原理（最優子結構性質）最優化原理可這樣闡述：乙個最優化策略具有這樣的性質，不論過去狀態和決策如何，對前面的決策所形成的狀態而言，餘下的諸決策必須構成最優策略。簡而言之，乙個最優化策略的子策略總是最優的。乙個問題滿足最優化原理又稱其具有最優子結構性質。

2.無後效性將各階段按照一定的次序排列好之後，對於某個給定的階段狀態，它以前各階段的狀態無法直接影響它未來的決策，而只能通過當前的這個狀態。換句話說，每個狀態都是過去歷史的乙個完整總結。這就是無後向性，又稱為無後效性。

演算法。動態規劃的思想是什麼：

記憶，空間換時間，不重複求解，由交疊子問題從較小問題解逐步決策，構造較大問題的解。

一般來說，乙個經典的動態規劃演算法時自底向上的（從較小問題的解，由交疊性質，逐步決策處較大問題的解），它需要解出給定問題的所有較小子問題。動態規劃的

乙個變種是試圖避免對不必要的子問題求解。如果採用自頂向下的遞迴來解，那麼就避免了不必要子問題的求解（相對於動態規劃表現出優勢），然而遞迴又會導致對

同乙個子問題多次求解（相

對於動態規劃表現出劣勢），所以將遞迴和動態規劃結合起來，就可以設計一種

基於記憶功能的從頂向下的動態規劃演算法

，在後面會

講。計算二項式係數：

在排列組合裡面，我們有下面的式子：

這個式子將c(n , k)的計算問題

表述為了

（問題描述

）c(n-1 , k -1)和c(n -1, k)兩個

較小的交疊子問題

。初始條件

：c(n , n) = c(n , 0) = 1

我們可以用

下列填矩陣

的方式求出c

該演算法的時間複雜度是多少呢？可以大概的估計下，

只填了下三角矩陣，為n*k/2 =

n*k,具體

的次數為：

按行來填矩陣：演算法偽**：

第1個for是控制行的，要填到第n行。第2個for來控制每行填到哪的，到i和k的較小值。從這2個for也可以看出複雜度是n*k。

實現：

/*計算二項式係數*/
public class main
public static int binomial(int n,int k)
}return result[n][k];
}public static int min(int i,int k)
}

結果：

動態規劃與分治法：

相同點是動態規劃和分治法都劃分為了較小規模問題的解，

不同點是動態規劃的較小子問題是交疊的，而且要儲存較小子問題的解。

最有子結構和多階段決策

：最優子結構：有準確的定義，可以參見一些資料，我自己描述下就是：在動態規劃求解過程中的，子問題產生的解對於子問題來說也是乙個最優解

多階段決策：一步步的決策，無後效性，決策只依賴於當前狀態，不依賴於之前的狀態。