1、到底什麼才叫「最優子結構」，和動態規劃什麼關係。
2、為什麼動態規劃遍歷dp陣列的方式五花八門，有的正著遍歷，有的倒著遍歷，有的斜著遍歷。
目錄「最優子結構」是某些問題的一種特定性質，並不是動態規劃問題專有的。也就是說，很多問題其實都具有最優子結構，只是其中大部分不具有重疊子問題，所以我們不把它們歸為動態規劃系列問題而已。
我先舉個很容易理解的例子：假設你們學校有 10 個班，你已經計算出了每個班的最高考試成績。那麼現在我要求你計算全校最高的成績，你會不會算？當然會，而且你不用重新遍歷全校學生的分數進行比較，而是只要在這 10 個最高成績中取最大的就是全校的最高成績。
我給你提出的這個問題就符合最優子結構：可以從子問題的最優結果推出更大規模問題的最優結果。讓你算每個班的最優成績就是子問題，你知道所有子問題的答案後，就可以藉此推出全校學生的最優成績這個規模更大的問題的答案。
你看，這麼簡單的問題都有最優子結構性質，只是因為顯然沒有重疊子問題，所以我們簡單地求最值肯定用不出動態規劃。
再舉個例子：假設你們學校有 10 個班，你已知每個班的最大分數差（最高分和最低分的差值）。那麼現在我讓你計算全校學生中的最大分數差，你會不會算？可以想辦法算，但是肯定不能通過已知的這 10 個班的最大分數差推到出來。因為這 10 個班的最大分數差不一定就包含全校學生的最大分數差，比如全校的最大分數差可能是 3 班的最高分和 6 班的最低分之差。
這次我給你提出的問題就不符合最優子結構，因為你沒辦通過每個班的最優值推出全校的最優值，沒辦法通過子問題的最優值推出規模更大的問題的最優值。前文「動態規劃詳解」說過，想滿足最優子結，子問題之間必須互相獨立。全校的最大分數差可能出現在兩個班之間，顯然子問題不獨立，所以這個問題本身不符合最優子結構。
那麼遇到這種最優子結構失效情況，怎麼辦？策略是：改造問題。對於最大分數差這個問題，我們不是沒辦法利用已知的每個班的分數差嗎，那我只能這樣寫一段暴力**：
int result = 0;
for (student a : school)
}return result;
當然，上面這個例子太簡單了，不過請讀者回顧一下，我們做動態規劃問題，是不是一直在求各種最值，本質跟我們舉的例子沒啥區別，無非需要處理一下重疊子問題。
前文「不同定義不同解法」和「高樓扔雞蛋高階」就展示了如何改造問題，不同的最優子結構，可能導致不同的解法和效率。
再舉個常見但也十分簡單的例子，求一棵二叉樹的最大值，不難吧（簡單起見，假設節點中的值都是非負數）：
int maxval(treenode root)root為根的樹的最大值，可以通過兩邊子樹（子問題）的最大值推導出來，結合剛才學校和班級的例子，很容易理解吧。
當然這也不是動態規劃問題，旨在說明，最優子結構並不是動態規劃獨有的一種性質，能求最值的問題大部分都具有這個性質；但反過來，最優子結構性質作為動態規劃問題的必要條件，一定是讓你求最值的，以後碰到那種噁心人的最值題，思路往動態規劃想就對了，這就是套路。
動態規劃不就是從最簡單的 base case 往後推導嗎，可以想象成乙個鏈式反應，以小博大。但只有符合最優子結構的問題，才有發生這種鏈式反應的性質。
找最優子結構的過程，其實就是證明狀態轉移方程正確性的過程，方程符合最優子結構就可以寫暴力解了，寫出暴力解就可以看出有沒有重疊子問題了，有則優化，無則 ok。這也是套路，經常刷題的朋友應該能體會。
這裡就不舉那些正宗動態規劃的例子了，讀者可以翻翻歷史文章，看看狀態轉移是如何遵循最優子結構的，這個話題就聊到這，下面再來看另外個動態規劃迷惑行為。
我相信讀者做動態規問題時，肯定會對dp陣列的遍歷順序有些頭疼。我們拿二維dp陣列來舉例，有時候我們是正向遍歷：
int dp = new int[m][n];
for (int i = 0; i < m; i++)
for (int j = 0; j < n; j++)
// 計算 dp[i][j]
for (int i = m - 1; i >= 0; i--)
for (int j = n - 1; j >= 0; j--)
// 計算 dp[i][j]
// 斜著遍歷陣列
for (int l = 2; l <= n; l++)
}
那麼，如果仔細觀察的話可以發現其中的原因的。你只要把住兩點就行了：
1、遍歷的過程中，所需的狀態必須是已經計算出來的。
2、遍歷的終點必須是儲存結果的那個位置。
下面來具體解釋上面兩個原則是什麼意思。
比如編輯距離這個經典的問題，詳解見前文「編輯距離詳解」，我們通過對dp陣列的定義，確定了 base case 是dp[..][0]和dp[0][..]，最終答案是dp[m][n]；而且我們通過狀態轉移方程知道dp[i][j]需要從dp[i-1][j],dp[i][j-1],dp[i-1][j-1]轉移而來，如下圖：
// 通過 dp[i-1][j], dp[i][j - 1], dp[i-1][j-1]
// 計算 dp[i][j]
因為，這樣每一步迭代的左邊、上邊、左上邊的位置都是 base case 或者之前計算過的，而且最終結束在我們想要的答案dp[m][n]。
再舉一例，回文子串行問題，詳見前文「子串行問題模板」，我們通過對dp陣列的定義，確定了 base case 處在中間的對角線，dp[i][j]需要從dp[i+1][j],dp[i][j-1],dp[i+1][j-1]轉移而來，想要求的最終答案是dp[0][n-1]，如下圖：
這種情況根據剛才的兩個原則，就可以有兩種正確的遍歷方式：
要麼從左至右斜著遍歷，要麼從下向上從左到右遍歷，這樣才能保證每次dp[i][j]的左邊、下邊、左下邊已經計算完畢，得到正確結果。
現在，你應該理解了這兩個原則，主要就是看 base case 和最終結果的儲存位置，保證遍歷過程中使用的資料都是計算完畢的就行，有時候確實存在多種方法可以得到正確答案，可根據個人口味自行選擇。
第乙個問題，找最優子結構的過程，其實就是證明狀態轉移方程正確性的過程，方程符合最優子結構就可以寫暴力解了，寫出暴力解就可以看出有沒有重疊子問題了，有則優化，無則 ok。
。。沒看懂第二個問題，dp陣列遍歷方向問題
動態規劃學習篇
最近在看牛客網的校招題目，發現很多公司的程式設計題都考了動態規劃裡面的知識，所以，專門抽個時間來學習一下。首先，要用動態規劃演算法，得滿足以下幾個條件 1.最優化原理 最優子結構性質 最優化原理可這樣闡述 乙個最優化策略具有這樣的性質，不論過去狀態和決策如何，對前面的決策所形成的狀態而言，餘下的諸決...
動態規劃總結篇
對於同一型別問題的總結 leetcode 516.最長回文子串行 給定乙個字串s，找到其中最長的回文子串行。可以假設s的最大長度為1000。示例 1 輸入 bbbab 輸出 乙個可能的最長回文子串行為 bbbb 示例 2 輸入 cbbd 輸出 乙個可能的最長回文子串行為 bb class solut...
軟體測試 答疑篇
答疑篇 一 軟體測試的概念 二 軟體測試與研發的區別 1 測試與除錯的區別 2 難易程度 3 薪水 4 發展前景 5 技術要求 6 工作環境 三 軟體測試的職業規劃 四 乙個優秀的測試人員所具備的素質 驗證軟體功能是否滿足使用者的需求 測試的任務是發現程式中的缺陷 除錯的任務是定位並且解決程式中的問...