動態規劃入門篇

動態規劃相信大家都知道，動態規劃演算法也是新手在剛接觸演算法設計時很苦惱的問題，有時候覺得難以理解，但是真正理解之後，就會覺得動態規劃其實並沒有想象中那麼難。

在上面的數字三角形中尋找一條從頂部到底邊的路徑，使得路徑上所經過的數字之和最大。路徑上的每一步都只能往左下或右下走。只需要求出這個最大和即可，不必給出具體路徑。三角形的行數大於1小於等於100，數字為 0 - 99

輸入格式：

5 //表示三角形的行數，接下來輸入三角形

3 8

8 1 0

2 7 4 4

4 5 2 6 5

要求輸出最大和

接下來，我們來分析一下解題思路：

首先，肯定得用二維陣列來存放數字三角形

然後我們用d( r, j) 來表示第r行第 j 個數字(r,j從1開始算)

我們用maxsum(r, j)表示從d(r,j)到底邊的各條路徑中，最佳路徑的數字之和。

因此，此題的最終問題就變成了求 maxsum(1,1)

當我們看到這個題目的時候，首先想到的就是可以用簡單的遞迴來解題：

if ( r == n)                
maxsum(r,j) = d(r,j) 
else 
maxsum( r, j) = max + d(r,j)

根據上面這個簡單的遞迴式，我們就可以很輕鬆地寫出完整的遞迴**：

#include 
#include 
#define max 101 
using
namespace
std; 
int d[max][max]; 
int n; 
int maxsum(int i, int j)
int main()

對於如上這段遞迴的**，當我提交到poj時，會顯示超時。

答案很簡單，因為我們重複計算了，當我們在進行遞迴時，計算機幫我們計算的過程如下圖：

就拿第三行數字1來說，當我們計算從第2行的數字3開始的maxsum時會計算出從1開始的maxsum，當我們計算從第二行的數字8開始的maxsum的時候又會計算一次從1開始的maxsum，也就是說有重複計算。這樣就浪費了大量的時間。也就是說如果採用遞規的方法，深度遍歷每條路徑，存在大量重複計算。則時間複雜度為 2的n次方,對於 n = 100 行，肯定超時。

接下來，我們就要考慮如何進行改進，我們自然而然就可以想到如果每算出乙個maxsum(r,j)就儲存起來，下次用到其值的時候直接取用，則可免去重複計算。那麼可以用n方的時間複雜度完成計算。因為三角形的數字總數是 n(n+1)/2

根據這個思路，我們就可以將上面的**進行改進，使之成為記憶遞迴型的動態規劃程式：

#include 
#include 
using
namespace
std;
#define max 101
int d[max][max]; 
int n; 
int maxsum[max][max];
int maxsum(int i, int j) 
return maxsum[i][j]; 
} int main() 
cout
<< maxsum(1,1) << endl; 
}

當我們提交如上**時，結果就是一次ac.

但是，我們並不能滿足於這樣的**，因為遞迴總是需要使用大量堆疊上的空間，很容易造成棧溢位，我們現在就要考慮如何把遞迴轉換為遞推，讓我們一步一步來完成這個過程。

我們首先需要計算的是最後一行，因此可以把最後一行直接寫出，如下圖：

現在開始分析倒數第二行的每乙個數，現分析數字2，2可以和最後一行4相加，也可以和最後一行的5相加，但是很顯然和5相加要更大一點，結果為7，我們此時就可以將7儲存起來，然後分析數字7，7可以和最後一行的5相加，也可以和最後一行的2相加，很顯然和5相加更大，結果為12，因此我們將12儲存起來。以此類推。。我們可以得到下面這張圖：

然後按同樣的道理分析倒數第三行和倒數第四行，最後分析第一行，我們可以依次得到如下結果：

我們的**僅僅是這樣就夠了嗎？當然不是，我們仍然可以繼續優化，而這個優化當然是對於空間進行優化，其實完全沒必要用二維maxsum陣列儲存每乙個maxsum(r,j),只要從底層一行行向上遞推，那麼只要一維陣列maxsum[100]即可,即只要儲存一行的maxsum值就可以。

對於空間優化後的具體遞推過程如下：

接下裡的步驟就按上圖的過程一步一步推導就可以了。進一步考慮，我們甚至可以連maxsum陣列都可以不要，直接用d的第n行直接替代maxsum即可。但是這裡需要強調的是：雖然節省空間，但是時間複雜度還是不變的。

依照上面的方式，我們可以寫出如下**：

#include 
#include 
using
namespace
std; 
#define max 101 
int d[max][max]; 
int n; 
int * maxsum; 
int main()

接下來，我們就進行一下總結：

遞迴到動規的一般轉化方法

遞迴函式有n個引數，就定義乙個n維的陣列，陣列的下標是遞迴函式引數的取值範圍，陣列元素的值是遞迴函式的返回值，這樣就可以從邊界值開始，逐步填充陣列，相當於計算遞迴函式值的逆過程。

動規解題的一般思路

1. 將原問題分解為子問題

2.確定狀態

整個問題的時間複雜度是狀態數目乘以計算每個狀態所需時間。在數字三角形裡每個「狀態」只需要經過一次，且在每個狀態上作計算所花的時間都是和n無關的常數。

3.確定一些初始狀態（邊界狀態）的值

以「數字三角形」為例，初始狀態就是底邊數字，值就是底邊數字值。

4. 確定狀態轉移方程

定義出什麼是「狀態」，以及在該「狀態」下的「值」後，就要找出不同的狀態之間如何遷移――即如何從乙個或多個「值」已知的「狀態」，求出另乙個「狀態」的「值」(遞推型)。狀態的遷移可以用遞推公式表示，此遞推公式也可被稱作「狀態轉移方程」。

數字三角形的狀態轉移方程:

能用動規解決的問題的特點

1) 問題具有最優子結構性質。如果問題的最優解所包含的子問題的解也是最優的，我們就稱該問題具有最優子結構性質。

2) 無後效性。當前的若干個狀態值一旦確定，則此後過程的演變就只和這若干個狀態的值有關，和之前是採取哪種手段或經過哪條路徑演變到當前的這若干個狀態，沒有關係。

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