動態規劃相信大家都知道，動態規劃演算法也是新手在剛接觸演算法設計時很苦惱的問題，有時候覺得難以理解，但是真正理解之後，就會覺得動態規劃其實並沒有想象中那麼難。網上也有很多關於講解動態規劃的文章，大多都是敘述概念，講解原理，讓人覺得晦澀難懂，即使一時間看懂了，發現當自己做題的時候又會覺得無所適從。我覺得，理解演算法最重要的還是在於練習，只有通過自己練習，才可以更快地提公升。話不多說，接下來，下面我就通過乙個例子來一步一步講解動態規劃是怎樣使用的，只有知道怎樣使用，才能更好地理解，而不是一味地對概念和原理進行反覆琢磨。
數字三角形（poj1163）
在上面的數字三角形中尋找一條從頂部到底邊的路徑，使得路徑上所經過的數字之和最大。路徑上的每一步都只能往左下或 右下走。只需要求出這個最大和即可，不必給出具體路徑。 三角形的行數大於1小於等於100，數字為 0 - 99
輸入格式：
5 //表示三角形的行數 接下來輸入三角形
73 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
要求輸出最大和
接下來，我們來分析一下解題思路：
首先，肯定得用二維陣列來存放數字三角形
然後我們用d( r, j) 來表示第r行第 j 個數字(r,j從1開始算)
我們用maxsum(r, j)表示從d(r,j)到底邊的各條路徑中，最佳路徑的數字之和。
因此，此題的最終問題就變成了求 maxsum(1,1)
當我們看到這個題目的時候，首先想到的就是可以用簡單的遞迴來解題：
if ( r == n)
maxsum(r,j) = d(r,j)
else
maxsum( r, j) = max + d(r,j)
#include #include #define max 101
using namespace std;
int d[max][max];
int n;
int maxsum(int i, int j)
int main()
為什麼會超時呢？
答案很簡單，因為我們重複計算了，當我們在進行遞迴時，計算機幫我們計算的過程如下圖：
[外鏈轉存失敗,源站可能有防盜煉機制,建議將儲存下來直接上傳(img-k6m78y7q-1583634626494)(
就拿第三行數字1來說，當我們計算從第2行的數字3開始的maxsum時會計算出從1開始的maxsum，當我們計算從第二行的數字8開始的maxsum的時候又會計算一次從1開始的maxsum，也就是說有重複計算。這樣就浪費了大量的時間。也就是說如果採用遞規的方法，深度遍歷每條路徑，存在大量重複計算。則時間複雜度為 2的n次方,對於 n = 100 行，肯定超時。
接下來，我們就要考慮如何進行改進，我們自然而然就可以想到如果每算出乙個maxsum(r,j)就儲存起來，下次用到其值的時候直接取用，則可免去重複計算。那麼可以用n方的時間複雜度完成計算。因為三角形的數字總數是 n(n+1)/2
根據這個思路，我們就可以將上面的**進行改進，使之成為記憶遞迴型的動態規劃程式：
#include #include using namespace std;
#define max 101
int d[max][max];
int n;
int maxsum[max][max];
int maxsum(int i, int j)
return maxsum[i][j];
} int main()
cout << maxsum(1,1) << endl;
}
雖然在短時間內就ac了。但是，我們並不能滿足於這樣的**，因為遞迴總是需要使用大量堆疊上的空間，很容易造成棧溢位，我們現在就要考慮如何把遞迴轉換為遞推，讓我們一步一步來完成這個過程。
我們首先需要計算的是最後一行，因此可以把最後一行直接寫出，如下圖：
[外鏈轉存失敗,源站可能有防盜煉機制,建議將儲存下來直接上傳(img-ia2tvy55-1583634626494)(
現在開始分析倒數第二行的每乙個數，現分析數字2，2可以和最後一行4相加，也可以和最後一行的5相加，但是很顯然和5相加要更大一點，結果為7，我們此時就可以將7儲存起來，然後分析數字7，7可以和最後一行的5相加，也可以和最後一行的2相加，很顯然和5相加更大，結果為12，因此我們將12儲存起來。以此類推。。我們可以得到下面這張圖：
[外鏈轉存失敗,源站可能有防盜煉機制,建議將儲存下來直接上傳(img-katwogh6-1583634626495)(
然後按同樣的道理分析倒數第三行和倒數第四行，最後分析第一行，我們可以依次得到如下結果
[外鏈轉存失敗,源站可能有防盜煉機制,建議將儲存下來直接上傳(img-ouxw9gnx-1583634626495)(
上面的推導過程相信大家不難理解，理解之後我們就可以寫出如下的遞推型動態規劃程式
#include #include using namespace std;
#define max 101
int d[max][max];
int n;
int maxsum[max][max];
int main()
對於空間優化後的具體遞推過程如下：[外鏈轉存失敗,源站可能有防盜煉機制,建議將儲存下來直接上傳(img-6likasnd-1583634626497)(
接下裡的步驟就按上圖的過程一步一步推導就可以了。進一步考慮，我們甚至可以連maxsum陣列都可以不要，直接用d的第n行直接替代maxsum即可。但是這裡需要強調的是：雖然節省空間，但是時間複雜度還是不變的。
依照上面的方式，我們可以寫出如下**：
#include #include using namespace std;
#define max 101
int d[max][max];
int n;
int * maxsum;
int main()
**遞迴到動規的一般轉化方法：**
遞迴函式有n個引數，就定義乙個n維的陣列，陣列的下標是遞迴函式引數的取值範圍，陣列元素的值是遞迴函式的返回值，這樣就可以從邊界值開始， 逐步填充陣列，相當於計算遞迴函式值的逆過程。
**動規解題的一般思路：**
2.確定狀態
3.確定一些初始狀態（邊界狀態）的值
4.確定狀態轉移方程
[外鏈轉存失敗,源站可能有防盜煉機制,建議將儲存下來直接上傳(img-dv2efhco-1583634626497)(
能用動規解決的問題的特點
1) 問題具有最優子結構性質。如果問題的最優解所包含的 子問題的解也是最優的，我們就稱該問題具有最優子結 構性質。
2) 無後效性。當前的若干個狀態值一旦確定，則此後過程的演變就只和這若干個狀態的值有關，和之前是採取哪種手段或經過哪條路徑演變到當前的這若干個狀態，沒有關係。
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