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如果乙個系統由n個變數和m個約束條件組成，形成m個形如ai-aj≤k的不等式(i,j∈[1,n],k為常數),則稱其為差分約束系統。
給定n個變數和m個不等式，每個不等式的形式為 x[i] - x[j] <= a[k] (0 <= i, j < n, 0 <= k < m， a[k]已知)，求 x[i] - x[j] 的最大值。
例如當n = 4，m = 5，給出如下圖所示的不等式組，求x3 - x0的最大值。
一般思路：我們可以嘗試把幾個不等式組合得到最後我們要求的式子，於是這些式子裡最小的那個就是答案。
比如，在這個例子中：
由（3）推出： x3 - x0 <= 4；
由（1）、（4）、（5）推出： x3 - x0 <= 5；
由（2）、（5） 推出： x3 - x0 <= 3;
因為需要滿足所有的差分條件，所以綜上所得最後結果就是3（最小的約束條件）.
在這個過程中，我們是否想到這種方法與我們已經學的一種演算法有所聯絡，是的，就是最短路演算法。
先給出結論：求解差分約束系統，都可以轉化成圖論的單源最短路徑（或最大解）問題。
我們觀察上面例子中的不等式，都是x[i] - x[j] <= a[k]，那麼我們就可以建一條從 j->i 的邊，邊權為a[k]（這樣跑出來的最短路就會是最大解），最後求x[n-1] - x[0] 的最大值就是求 0 到n-1的最短路，兩者剛好吻合。所以求解差分約束問題就轉化為了最短路問題。
由於在求解最短路時會出現存在負環或者終點根本不可達的情況，在求解差分約束問題時同樣存在
如果路徑中出現負環，就表示最短路可以無限小，即不存在最短路，那麼在不等式上的表現即x[n-1] - x[0] <= t中的t無限小，得出的結論就是 x[n-1] - x[0]的最大值不存在（無解）。在spfa實現過程中體現為某一點的入隊次數大於節點數。（貌似可以用sqrt(num_node)來代替減少執行時間）
這種情況表明x[n-1]和x[0]之間沒有約束關係，x[n-1] - x[0]的最大值無限大，即x[n-1]和x[0]的取值有無限多種。在**實現過程中體現為dis[n-1]=inf。
做題時可能會遇到不等式中的符號不相同的情況，但我們可以對它們進行適當的轉化
（1）方程給出：x[n-1]-x[0]>=t ,可以進行移項轉化為： x[0]-x[n-1]<=-t。
（2）方程給出：x[n-1]-x[0]（3）方程給出：x[n-1]-x[0]=t，可以轉化為x[n-1]-x[0]<=t&&x[n-1]-x[0]>=t，再利用（1）進行轉化即可
對於不同的題目，給出的條件都不一樣，我們首先需要關注問題是什麼，如果需要求的是兩個變數差的最大值，那麼需要將所有不等式轉變成"<="的形式，建圖後求最短路；相反，如果需要求的是兩個變數差的最小值，那麼需要將所有不等式轉化成">="，建圖後求最長路，你把上面的樣例改下符號推倒下就出來了。
例題：poj-3169 layout（判斷了以上所有情況，可以去做做）
差分約束系統詳解
差分約束系統 x1 x2 0 x1 x5 1 x2 x5 1 x3 x1 5 x4 x1 4 x4 x3 1 x5 x3 3 x5 x4 3 不等式組 1 全都是兩個未知數的差小於等於某個常數 大於等於也可以，因為左右乘以 1就可以化成小於等於 這樣的不等式組就稱作差分約束系統。這個不等式組要麼無解...
差分約束系統詳解
差分約束系統詳解 一直不知道差分約束是什麼型別題目，最近在寫最短路問題就順帶看了下，原來就是給出一些形如x y b不等式的約束，問你是否滿足有解的問題 好神奇的是這類問題竟然可以轉換成圖論裡的最短路徑問題，下面開始詳細介紹下 比如給出三個不等式,b a k1,c b k2,c a k3,求出c a的...
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