三種素數篩選法詳解 轉

2021-08-22 13:31:29 字數 2653 閱讀 5352

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第一種:剔除2 3 4 5 6 ... ... 的倍數

在i從2開始的增一變化過程中,剔除i的倍數即j*i(j是大於等於2的自然數,j的上限是問題規模m)

為了減少重複步驟,可以每當i遞增到等於第乙個沒有被剔除的(素)數時再剔除該數的倍數,

重複上述過程至i到達問題規模m的平方根+1

需要說明的三個問題:

假設迴圈到第n個數,如果該數沒有被剔除,那麼該數不能是前邊所有數的倍數,該數更不可能是後邊數的倍數,該

數就是素數。

如果該數是合數卻沒被剔除,那麼該數能分解為兩個小於該數的數的積的形式,而前邊剔除的數包含了所有小於該

數的數之間的積,這是矛盾的。

為什麼篩選迴圈的第一層只迴圈至問題規模m的平方根+1

因為,對於乙個數m,所有大於該數平方根的數的積已經大於該數了,再剔除下去只是多餘。

為什麼篩選迴圈的第二層只迴圈至max/i?

因為此時j*max/i就等於max,此時需要標記為錯誤的數已經到了問題的規模即max,沒有必要在標記比max大的值不

是素數,此外用來標記i*j不是素數的陣列只有max+1的容量,這樣做是向不是自己申請的記憶體空間裡寫資料,是危

險的。

#include #include #include using namespace std;

const int max=1000;

int main();

for(i=2;i<=n;i++) //篩選迴圈

for(j=2;j<=max/i;j++)

a[j*i]=1;

for(i=2;i<=max;i++)

if(a[i]==0)

;void calc()

printf("%5d", 2);

for (n=t=1;t這個程式的方法是通過排除3 5 7 9 11 ... ...中的素數n的奇數倍來排除素數的

用陣列nlist中的第[t/2]個元素的值(取1)來標記t不是素數。

1、為什麼是奇數的倍數?

首先我們假設這個演算法是正確的。由於素數除了2都是奇數,那麼每次送入篩選迴圈的n值都是奇數,排除t時t的遞

增表示式可寫為

for(int i=0;i

2、為什麼3 5 7 9 11 ... ...中的素數n的倍數(奇數)要從n開始?

就是說從1開始和從n開始的效果是一樣,或者說n以前的奇數乘n都可以等於n以前(比n小的)素數的更大(比n大的

)奇數倍數。由於n是奇數,可以設n以前(比n小的)的奇數為n-2i,比n大的奇數為n+2j;那麼我們的任務就是,

證明n*(n-2i)可以等於m*(n+2j),其中m為小於n的素數,i、j都是正整數。即n(n-m)=2mj+2ni。這有變成證

明n-m是偶數,這是顯然的,兩個奇數之差必然是偶數。

3、為什麼篩選迴圈剔除了所有的非素數?

不管該演算法正確與否,3 5 7 9 11 ... ...中的任意n的奇數倍都排除了某些合數。

首先我們假設n迴圈至某個n時,為合數卻沒有剔除,那麼n可以分解因數為多個素數且是奇數(由於n是從3開始的奇

數)的積,當然也可表示為乙個素數a與乙個奇數b的積的形式,那麼這個a必然是小於n的素數。這個素數的奇數倍

就必然在前次迴圈中排除了。這與沒有被剔除矛盾。所以該演算法正確

最後我們來看看,第三種

#define max_n 1000

int a[max_n+1];

int p[max_n+1];

int ncount=0;

void init(int n) //線性篩法,不過在小範圍上(約n<1e7)不比上乙個方法快

for (int j=1,k; (j<=ncount) && (k=i*p[j])<=n; j++) //篩選迴圈

}} #include int main(void)

return 0;

}

這一種可以說是對前種演算法的直接變形

用a[k]=1來標記k不是素數

第一種是用篩選出來的正確的數(即素數)的倍數剔除合數

第二種是用2到n乘篩選出正確的數,即素數

如果你不以為然,我可以把for (n=3;n<=sq;n+=2)該為(n=3;n這句可解釋為當i第一次成為所挑選出來的正確的素數遞增序列的某個數(設為n)的整數倍時,就沒有必要讓i在去

乘遞增素數序列裡的比n大的素數,這又可以等價於 i乘比n大的合適的素數(設為max)可以等於比i大的整數(設

為j)乘比n小的素數(設為min),且這個j不是m的整數倍,即i*max=j*min;

又可以等價與j=i*max/min是乙個不是min倍數的整數,根據以前做因式分解的經驗乙個整數必然能分解為乙個遞增

的素數序列的積,如果我們假設i*max是這麼乙個整數,max是因數遞增序列中稍大的素數,則min只要是遞增序列中

小於max的素數,就能使j為整數,很顯然min包含於所有小於max的素數中,自然j是個整數,

又由於i不是max的倍數,max又不是min的倍數(如果是,max是素數嗎?)那麼i必然是min的倍數,又i是第一次成

為所挑選出來的正確的素數遞增序列的某個數(設為n)的整數倍,i必然不是min平方的倍數,即i/min不是min的倍

數,i/min*max也不是min的倍數

至此就證明了if (i%p[j] == 0) break;這一句新增進去是合理的

素數打表(三種篩選法)

第一種用得比較多 篩法1 eraosthenes 愛拉托斯尼篩法 篩法 for i 2 i 1000 i if s i 但是第一種如果是大於百萬級以上的話就 有點吃力了 因為其中有重複計算過的素數,這就不必要了!比如 10這個數,當2或者5的時候都被實行了一次s 10 1 所以為了減少不必要的,就有...

三種素數篩選方法

第一種 剔除2 3 4 5 6 的倍數 在i從2開始的增一變化過程中,剔除i的倍數即j i j是大於等於2的自然數,j的上限是問題規模m 為了減少重複步驟,可以每當i遞增到等於第乙個沒有被剔除的 素 數時再剔除該數的倍數,重複上述過程至i到達問題規模m的平方根 1 需要說明的三個問題 假設迴圈到第n...

素數篩選的三種方法

第一種 剔除2 3 4 5 6 的倍數 在i從2開始的增一變化過程中,剔除i的倍數即j i j是大於等於2的自然數,j的上限是問題規模m 為了減少重複步驟,可以每當i遞增到等於第乙個沒有被剔除的 素 數時再剔除該數的倍數,重複上述過程至i到達問題規模m的平方根 1 需要說明的三個問題 假設迴圈到第n...