點到平面(三角形)的最短距離

2021-08-25 07:34:12 字數 811 閱讀 6454

有時候,我們經常需要計算乙個點p到平面上的投影(p'),簡單的講,這個投影點p'能滿足|p-p'|為p到平面的最短距離。

簡單介紹一下如何計算該演算法

假設平面以三點式給出,三個頂點分別為p0,p1,p2

那麼以p0為原點, v0 = p1-p0 , v1 = p2-p0.

[v0 , v1] 為該平面的乙個基, 注意不是正交的。

所以平面上的任意一點為 pt = p0 + t0 * v0 + t1 * v1;

因此對p',我們能滿足 p-p' = p - (p0 + t0 * v0 + t1 * v1);

同樣,因為p-p' 垂直平面,那麼 p-p' 垂直該平面上任意乙個向量

所以(p-p') * v0 = 0

(p-p') * v1 = 0

(p - p0 ) * v0= t0 * v0 *v0 + t1 * v1 *v0 ;

(p - p0 ) * v1= t0 * v0 *v1 + t1 * v1 *v1 ;

解乙個二元一次方程,可以得到t0 ,和 t1的值。

代入 pt = p0 + t0 * v0 + t1 * v1 , 可以得到所求的點。

//延伸

注意,如果要求點到三角形的最短距離,我們首先判斷t0 , t1的範圍。

如果t0,t1都在[0-1]區間內,並且t0+t1 < 1 的時候,那麼p'在三角形內部。上面所求的點即為點到三角形最短距離。

當p'不在三角形內部的時候。那麼請看下圖。

根據幾個邊界條件選出乙個邊,計算出p'到該邊的最近點,並且把得到的(t0,t1) clamp到[0-1]。得到的p''就是所求的最短距離

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