約瑟夫環問題。。。。。

2021-08-26 10:23:21 字數 1294 閱讀 1032

今天猛然間看見約瑟夫環的遞推演算法,,,感覺很精闢,,,,

josephus(約瑟夫)問題的數學方法

無論是用鍊錶實現還是用陣列實現都有乙個共同點:要模擬整個

遊戲過程,不僅程式寫起來比較煩,而且時間複雜度高達o(nm),當n

,m非常大(例如上百萬,上千萬)的時候,幾乎是沒有辦法在短時間

內出結果的。我們注意到原問題僅僅是要求出最後的勝利者的序號,

而不是要讀者模擬整個過程。因此如果要追求效率,就要打破常規,

實施一點數學策略。

為了討論方便,先把問題稍微改變一下,並不影響原意:

問題描述:n個人(編號0~(n-1)),從0開始報數,報到(m-1)的退出

,剩下的人繼續從0開始報數。求勝利者的編號。

我們知道第乙個人(編號一定是m%n-1) 出列之後,剩下的n-1個人組

成了乙個新的約瑟夫環(以編號為k=m%n的人開始):

k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2

並且從k開始報0。

現在我們把他們的編號做一下轉換:

k --> 0

k+1 --> 1

k+2 --> 2

......

k-2 --> n-2

k-1 --> n-1

變換後就完完全全成為了(n-1)個人報數的子問題,假如我們知道這

個子問題的解:例如x是最終的勝利者,那麼根據上面這個表把這個x

變回去不剛好就是n個人情況的解嗎?!!變回去的公式很簡單,相

信大家都可以推出來:x『=(x+k)%n

如何知道(n-1)個人報數的問題的解?對,只要知道(n-2)個人的解就

行了。(n-2)個人的解呢?當然是先求(n-3)的情況 ---- 這顯然就是

乙個倒推問題!好了,思路出來了,下面寫遞推公式:

令f表示i個人玩遊戲報m退出最後勝利者的編號,最後的結果自然

是f[n]

遞推公式

f[1]=0;

f=(f[i-1]+m)%i; (i>1)

有了這個公式,我們要做的就是從1-n順序算出f的數值,最後結

果是f[n]。因為實際生活中編號總是從1開始,我們輸出f[n]+1

由於是逐級遞推,不需要儲存每個f,程式也是異常簡單:

#include int main(void)

這個演算法的時間複雜度為o(n),相對於模擬演算法已經有了很大的提高

。算n,m等於一百萬,一千萬的情況不是問題了。可見,適當地運用

數學策略,不僅可以讓程式設計變得簡單,而且往往會成倍地提高演算法執

行效率。

約瑟夫問題 約瑟夫環

約瑟夫 問題 有時也稱為約瑟夫斯置換,是乙個出現在電腦科學和數學中的問題。在計算機程式設計的演算法中,類似問題又稱為約瑟夫環。又稱 丟手絹問題 據說著名猶太歷史學家 josephus有過以下的故事 在羅馬人占領喬塔帕特後,39 個猶太人與josephus及他的朋友躲到乙個洞中,39個猶太人決定寧願死...

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約瑟夫環問題

約瑟夫環問題 問題描述 編號是1,2,n的n個人按照順時針方向圍坐一圈,每個人持有乙個密碼 正整數 一開始任選乙個正整數作為報數上限值m,從第乙個人開始順時針方向自1開始順序報數,報到m時停止報數。報m的人出列,將他的密碼作為新的m值,從他在順時針方向的下乙個人開始重新從1報數,如此下去,直到所有人...