假定在右手座標系中的三角形3點座標為a，b，c，判斷p是否在abc之內
( 主要來自 3d引擎研發（38224573 ）的各位朋友的討論 ，我僅僅算做個總結吧，特別感謝各位朋友的熱情支援。 ）
方法1：三個perplane的方法
設ab，bc，ac邊上的垂直平面為perplane[3]，垂直朝向內側的法向為n[3]
1）先根據任意兩邊叉出法向n
n = ab.crossproduct(ac);
n.normalize();
d = a.dotproduct( n );
2）如果p在三角形所在平面之外，可直接判定不在平面之內（ 假定方程為 ax+by+cz+d = 0 )
if( p.dotproduct( n )+ d > 0 ) return false;
3）然後法向和各邊叉出垂直平面的法向
n[0] = n.crossproduct(ab); //朝向內側
n[0].normalize();
perplane[0].dist = a.dotproduct(n[0]);
perplane[0].normal = n[0];
同樣方法求得perplane[1],perlane[2];
3）因為三個perplane都朝向三角形內側，p在三角形內的條件是同時在三個perplane前面；如果給定點p在任意乙個垂直平面之後，那麼可判定p在三角形外部
for( int i = 0;i<3;j++ )
if( p.dotproduct( perplane[i].normal ) + perplane[i].dist < 0 )
return false;
return true;//如果p沒有在任意一條邊的外面，可判斷定在三角形之內，當然包括在邊上的情況
方法2：三個部分面積與總面積相等的方法
s(pab) + s(pac) + s( pbc) = s(abc) 則判定在三角形之內
用向量代數方法計算三角形的面積為
s = 1/2*|a|*|b|*sin(theta)
= 1/2*|a|*|b|*sqrt(1-cos^2(theta))
= 1/2*|a|*|b|*sqrt(1- (a.dotproduct(b)/(|a|*|b|))^2);
另一種計算面積的方法是 s = 1/2*|a.crossproduct(b)|
比較一下，發現後者的精確度和效率都高於前者，因為前者需要開方和求向量長度，向量長度相當於一次點乘，三個點乘加乙個開方，顯然不如
後者一次叉乘加一次向量長度（注，一次叉乘計算相當於2次點乘，一次向量長度計算相當於一次點乘），後者又對又快。
s(abc) = ab.crossproduct(ac)；//*0.5;
s(pab) = pa.crossproduct(pb)；//*0.5;
s(pbc) = pb.crossproduct(pc)；//*0.5;
s(pac) = pc.crossproduct(pa)；//*0.5;
if( s(pab) + s(pbc) + s(pac) == s(abc) )
return true;
return false;
另一種計算三角形面積的向量方法是 1/2*a.crossprodcuct(b) ，crossproduct = ( y1*z2 - y2*z1 , x1*z2 - x2*z1, x1*y2 - x2*z1 )
可以看到crossproduct 的計算要比dotproduct多3個乘法計算，效率沒有上面的方法高
方法3：三個向量歸一化後相加為0
這個方法很怪異，發現自下面的乙個回帖
如上圖三角形abc，p為ab外側一點，n1，n2，n3 分別為bp，ap，cp的歸一化向量；nm為n1，n2夾角的角平分線
可以看出角a-p-b是三角形內角，必然小於180度，那麼角n1-p-n2等於a-p-b；nm是n1-p-n2的角平分線，那麼角b-p-n等於角n-p-a，而cpn必然小於其中乙個，
即小於180/2 = 90度。結論是角n1，n2的合向量方向與n3的夾角為銳角。所以n1，n2，n3的合向量模大於1.
這裡注意，n3不一定在n1，n2之間，不能假定n2-p-n3 和n3-p-n1這兩個角一定是銳角
同樣可以推導出如果p在三角形內，n1+n2+n3必然小於0；若n1+n2+n3 = 0則p在三角形的邊上。
有沒有更簡單的推導方法？
這個方法看起來很精巧，但是善於優化的朋友會立刻發現，三個向量歸一化，需要三個開方。迭代式開方太慢了，而快速開方有的時候又不滿足精度要求。
方法4：重心座標之和為1
barycenter = ( s(pab)/s(pabc),s(pbc)/s(pabc),s(pac)/s(pabc)) //點p在三角形內的重心座標
if( barycenter.x + barycenter.y + barycenter.z >0.f )
return false
return true;
其中s(pab)，s(abc)，s(pbc)，s(pbc)用上述的方法二種提到的計算三角形面積方法計算。
綜合比較
方法1必須求叉乘，雖然可以通過首先排除不在平面內的點，但是後面仍要求三個叉乘和3個點乘（當然還可排除法優化）
方法2看起來之需要求4個點乘，如果用叉乘方法計算面積，可能會導致效率低下
方法3是看起來是最精巧的方法，但是效率也不能保證...3個開方
方法4和方法2的效率差不多
判斷點在三角形內
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判斷一點是否在三角形內
一點 d 是否在三角形 abc 內，相對於ab邊來說，d點在三角形內一定要和c點在 ab 邊同側，對於a,b 點也用相同的方法去判斷d點是否於其在相應邊的同側，這種方法還可以用來判斷多點是不是可以構成乙個凸多邊形。下邊以 ab 為邊例，驗證 c,d兩點是否在ab邊同側，ab 的在二維座標中的線性方程...
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