Trilateration三邊測量定位演算法

2021-08-27 11:11:42 字數 1709 閱讀 5300

基本原理

trilateration（三邊測量）是一種常用的定位演算法：

已知三點位置 (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)

已知未知點 (x0, y0) 到三點距離 d1, d2, d3

以 d1, d2, d3 為半徑作三個圓，根據畢達哥拉斯定理，得出交點即未知點的位置計算公式：

( x1 - x0 )2 + ( y1 - y0 )2 = d12


( x2 - x0 )2 + ( y2 - y0 )2 = d22


( x3 - x0 )2 + ( y3 - y0 )2 = d32
設未知點位置為 (x, y)， 令其中的第乙個球形 p1 的球心座標為 (0, 0)，p2 處於相同縱座標，球心座標為 (d, 0)，p3 球心座標為 (i, j)，三個球形半徑分別為 r1, r2, r3，z為三球形相交點與水平面高度。則有：

r12 = x2 + y2 + z2


r22 = (x - d)2 + y2 + z2


r32 = (x - i)2 + (y - j)2 + z2
當 z = 0 時， 即為三個圓在水平面上相交為一點，首先解出 x:

x = (r12 - r22 + d2) / 2d
將公式二變形，將公式一的 z2 代入公式二，再代入公式三得到 y 的計算公式：

y = (r12 - r32 - x2 + (x - i)2 + j2) / 2j
定義三個圓的座標及半徑，計算出交點的座標 (obj_x, obj_y).

var x_0 = 150, y_0 = 150;


var x_1 = x_0, y_1 = y_0, d = 150, x_2 = x_0 + d, x_3 = 225, y_3 = 315, r = 100;


var i = x_3 - x_0, j = y_3 - y_0;


var x = (math.pow(r, 2) - math.pow(r, 2) + math.pow(d, 2)) / (2 * d) + x_0;


var obj_x = x + x_0;


var y = (math.pow(r, 2) - math.pow(r, 2) - math.pow(x, 2) + math.pow((x - i), 2)


+ math.pow(j, 2)) / (2 * j);


var obj_y = y + y_0;
繪出圓形及交點：

.attr("cy", y_1).attr("r", r)

.style("fill", "blue").style("opacity", 0.3);

.attr("cy", y_0).attr("r", r)

.style("fill", "red").style("opacity", 0.4);

.attr("cy", y_3).style("opacity", 0.5)

.attr("r", r).style("fill", "yellow");

.attr("cy", obj_y).attr("r", 3)

.style("fill", "red");

但在實際定位中，給定的距離由於測量的誤差，並不能真正讓三個圓交於一點，需要在相交區域繪製出矩形並計算矩形的中心位置，除三邊測量計算公式之外，也許還可以採用k-means或overlap聚類演算法，後兩者在地圖標註上使用比較廣，有興趣的可以進一步對定位演算法進行研究。

Trilateration三邊測量定位演算法

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