初識樹狀陣列

針對乙個陣列，反覆的修改、求區間和，普通的寫法:

//修改
a[index] = new_value;
//求區間和
int sum = 0;
for (int i = begin; i <= end; i++)

這樣的寫法，若區間長度為m,求和次數為n，時間複雜度o(mn);

樹狀陣列的寫法，就是為了優化此類問題，尤其是字首和問題。

針對字首和問題，首先舉個例子：若要求前7項和，我們可以轉為求sum(a[7]) + sum(a[5:6]) + sum(a[1:4]).（注:樹狀陣列起始為1）

為什麼求第7項要這樣拆分呢？(7)10=(111)2 7的二進位制中有三個1，由低位到高位一次為1,2, 4；所以我們把她拆分為區間長度為1,2,4的三段。即sum(1, 7) = (a[7]) + (a[6] + a[5]) + (a[4] + a[3] + a[2] + a[1]) = sum(a[7]) + sum(a[5:6]) + sum(a[1:4])。

所以我們正式開始計算字首和的時候，我們把這些要用的單元準備好即可。如何準備呢？

設索引index二進位制的最低位表示n，那麼就從當前位置，取n個元素求和並儲存。

如：(7)10 = (111)2 那麼從a[7]開始求區間長度為1的和。

再比如：(6)10 = (110)2 6二進位制的最低位表示2，所以從a[6]開始求區間長度為2的和。

示意圖如下

a為原陣列，c即需要構造的樹狀陣列。

那麼這是又有乙個問題，如何快速確定x二進位制最低位所表示的數字。

首先要知道x 與 (x-1)二進位制的區別就是從x二進位制對低位的1開始，更低位的數字全部變化，如(12)10 = (1100)2 , (11)10=(1011)

所以當x & (x - 1）時，即構造了乙個特殊的數——x去掉最低位1的數字（12）2 & （11）2 = 1000；

所以 x - (x & (x - 1)) 即為所求

int lowbit(int x)
//功能一樣
int lowbit2(int x) //二進位制補碼，負數的二進位制就是正數取反+1

有了lowbit()函式，就可以求可以字首和了

//k為前k項和， vectorv為已經構建好的樹狀陣列
int sum(int k, vectorv)
return 0;
}

好了，求和的部分就是上述**，但是如何修改呢。

因為我們有針對原陣列的樹狀陣列，所以當修改原陣列a時，要對應維護樹狀陣列v。

假設現在修改index=6處的資料加上delta，那麼樹狀陣列的v[6]肯定也要加上delta，因為前七項和已經改變delta，容易理解v[1]-v[5]不用改變。那麼v[6]之後的資料如何改變？v[7]需要變嗎？不需要，因為sum[1:7]=v[7] + v[6] + v[4] 前7項和的增量delta已經在v[6]中加過了。那麼v[8]需要改變嗎呢？sum[8] = v[8]，顯然是需要修改的，因為v[8]僅僅是原陣列前8項的和，現在更新了，就要加上delta。

那麼什麼時候要加delta，設麼時候不加delta ，當樹狀陣列下標二進位制與原陣列下標二進位制位數對齊，原陣列二進位制中每乙個1在陣列二進位制下標中都有對應即不用加delta，反之則需要。

如原陣列index = 6 二進位制 01 10 sum[1:6] = v[6] + v[4]

樹狀陣列下標 = 7 二進位制 01 11 sum[1:7] = v[7] + v[6] + v[4] 當v[6]增加delta時，v[7]不再需要增加

樹狀陣列下標 = 8 二進位制 10 00 sum[1:8] = v[8] 求前八項和，就是v[8]，所以為了應對修改，此時v[8]需要增加delta

樹狀陣列下標 = 14 二進位制 11 10 綜上，下標為14時，不需要加delta

如何快速計算哪個不需要加delta，哪個需要delta，設t = lowbit(index)，index + (t - 1)是不會有任何進製的，所以二進位制中對應的1都沒有改變，但是index + t時，就產生了進製，需要修改，算出新的index時，以此類推。

如：index = 6, t = lowbit(6) = 2; index + 1時沒有進製，即index + 1 = （7）10 = （111）2 二進位制中的1與（110）2對應

index + 2時，產生進製即index+2 = （8）10 =（1000）2 二進位制中的1與（100）2不對應

所以**如下：

void updata(vector&v, int k, int delta)
}

有了上述**，我麼就可以初始化一顆樹狀陣列

void init(vectora, vector&v)
}

整體**如下：

#include #include using namespace std;
int lowbit(int x)
int sum(vectorv, int k)
return sum;
}void update(vector&v, int k, int delta)
}void init(vectora, vector&v)
} int main()
init(a, v);
cout << sum(v, 3) << endl;
update(v, 2, 4);
cout << sum(v, 9) << endl; 
return 0; 
}

以上**為求字首和，求區間和sum[3:5] = sum[1:5] - sum[1:2]

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