第一章函式與極限

1. 高等數學第六版上冊的第一章主要是關於函式與極限的，其中佔主要部分的是極限

數列極限標準定義：對數列，若存在常數a，對於任意ε>0，總存在正整數n，使得當n>n時，|xn-a|

函式極限標準定義：設函式f(x),|x|大於某一正數時有定義，若存在常數a，對於任意ε>0，總存在正整數x，使得當x>x時，|f(x)-a|

2. 求解極限的過程中可以使用如下幾個技巧

①使用等價無窮小來進行替換，但是需要注意的是使用這個等價無窮小有乙個前提就是：相乘和相除才可以使用等價無窮小的替換，相加相減的運算不可以使用等價無窮小進行替換

上面的基本上是常用的等價無窮小

② 在有正弦函式與x^相除的時候通常要考慮到使用泰勒公式變成的簡單的形式即帶有佩亞諾型餘項的麥克勞林公式

化簡成簡單的形式將x0 = 0帶入進去即可

把f(x)表示成關於x的函式關係式

常見的函式使用帶有佩亞諾型餘項的麥克勞林公式的有：sinx = x - x^3 / 3! + x^5 / 5! + o(x5) 通常就是檢視相除的x的階數是多少那麼f(x)就表示成多少階那麼相除的時候就可以消去掉其中多餘的x

cosx = 1 - 1 / 2! x ^2 + 1 / 4! x^4

e^x = 1 + x + x ^ 2 / 2! + .... x^n / n! + o(x^n)

in(1 + x) - x - 1 / 2! x^2 + 1 / 3! x^3 + o(x^3)

③ 當x->a的時候，函式f(x)與g(x)的極限都趨於零，而且limf ' (x) / g'(x) 存在那麼可以使用洛必達法則，對於f(x)與g(x)都求導然後再進行計算

其他的還有一些0*∞、∞ - ∞ 、0^0、1^∞、∞^0型的未定式也可以使用洛必達法則來求解

④ 可以使用兩個重要極限來進行化簡

通常有指數的這些函式可以使用第二個重要的極限來進行化簡，此外估計極限為1^∞型的也可以使用第二個重要極限來計算

⑤ 1 / 趨於零的數結果趨於∞,除以趨於無窮的數趨於零

⑥ 當分子和分母有根號的情況下可以考慮化簡分子或者分母，看化簡哪乙個簡單就化簡哪乙個然後進行進一步的化簡即可

⑦ 無窮小乘以有界函式結果還是無窮小，有限個無窮小的乘積也是無窮小

補充一下無窮小的概念：

如果limf(x) / g(x) = 0 就說f(x)是比g(x)的高階無窮小

如果limf(x) / g(x) = ∞ 就說f(x)是比g(x)的低階無窮小

如果limf(x) / g(x) = c 而且c不等於零就說f(x)是比g(x)的同階無窮小(g(x)是關於x的一階函式)

如果limf(x) / g(x) = c 而且c不等於零就說f(x)是比g(x)的k階無窮小(g(x)是關於x的k階函式)

如果limf(x) / g(x) = 1 就說f(x)是比g(x)的等價無窮小

這一部分的內容是非常基礎的部分，我不會按照課本去講，而是把大家容易混的地方摘出來單獨講。目錄一反函式二函式的分類與性質下面我要講的是反函式。反函式的計算過程中，好像我們都比較喜歡最後把x,y的位置對調，即y f x 的反函式求出來x g y 之後，我們喜歡把x和y交換一下位置，變成y g ...

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第一章 函式與極限