golang的大數表示

math/big包中定義了數值超出64位的大數資料結構和有關函式。

type int struct
type nat [
]word
type word uint

大數的絕對值儲存在abs中，實際上就是將絕對值的二進位制表示從右至左按64位切塊（這裡均以64位字長為例），依次放入abs[0]、abs[1]、… 。

用公式描述就是將大數以264為基數展開，形如xn-1264(n-1)+xn-2264(n-2)+ … + x1264+x0，按由右至左的順序記錄各個係數xi ，即abs[0]=x0，abs[1]=x1，… 。這裡0 <= xi

< 264，n為切片長度，顯然xn-1不等於0。

雖然看起來比較複雜，但實質上與我們熟悉的十進位制表示法完全相同，只不過現在是264進製，也就是以264為基數，係數不是10以內，而是264以內。例如：十進位制的8705表示的是8x103+7x102+0x10+5這個數，它的係數是8、7、0、5；如果換成是264進製，它表示的就是8x264x3+7x264x2+0x264+5這個數。也可以說abs儲存的是264進製表示法的係數。

感覺上，大數表示法似乎應該減少了儲存空間的占用，實際上是錯覺，不考慮符號儲存問題，它和原生態地儲存大數占用的空間是一樣的，對於任意大數的每乙個位元都要精確表達。

func
newint
(x int64
)*int

以x為基礎新建乙個大數，並返回int型指標。當機器字長為32位時，該函式會將x拆成2個係數。更有用的方法是：

func
(z *int)
setstring
(s string
, base int)(
*int,
bool
)

該方法將字串s解釋為以base為基數的乙個大數，並填充z，返回的bool值表示成功與否。base為0時，由s的字首決定字串所代表的數字進製，0-八進位制，0x或0x-十六進製制，0b或0b-二進位制，其它-十進位制。比如：

var a big.int
a.setstring
(「0x742e666d7400747970652e2e65712e662e74016d」,
0)

定義了乙個20位元組長的大數。這裡不接收setstring()的返回值也沒有問題。這個方法的實現有點意思，為了效率使用了組合語言，下面作一簡要剖析。

將字串s轉化為乙個位元組流。

確定符號，然後把後續的位元組流都當成無符號數來處理，即絕對值。

確定進製，如是否為0、0x、0b先導等等。

根據進製，確定乙個字長能夠容納的該進製數字的個數n和基本權重bn，比如：64位字長可容納的最大十進位制數為1.8447x1019，共20個數字，這裡取n=19，基本權重為1019。因為如果取20可能會「冒頂」，如2x1019也是20個數字但放不進乙個字長內。所以這個n實際上是該進製能安全地存入乙個字長的最大數字個數。至於基本權重將用於後續進製轉換計算。從這裡還能預感到乙個問題，比如1x1019雖然是20個數字，但能放在乙個字長內，golang是不是用了兩個字長？

從現在開始迴圈讀入位元組流，每n個數字呼叫方法muladdww將值寫入係數切片。首次寫入就是簡單的賦值，之後的寫入都要呼叫muladdvww這個彙編函式來處理。為了看清這個函式的過程，先以十進位制為例在紙面上推導一下新增切片元素的過程。

收尾，將剩餘不足n個數字的值按前法（權重有所變化）寫入切片。

下面是彙編**：

// func muladdvww(z, x word, y, r word) (c word)
// x為原係數切片，至少已有乙個元素
// z是要生成的新切片，已基於x建立，長度相同，容量比x大1至4
// r為要新增的值
// y是權重
// c是計算後最高位的係數，不在這裡寫入z
text ·muladdvww
(sb)
,nosplit,$-
1 movq z+
0(fp)
, r10 // r10=新切片元素指標，即reflect.sliceheader.data
movq x+
24(fp)
, r8 // r8 =原切片元素指標
movq y+
48(fp)
, r9 // r9 =權重
movq r+
56(fp)
, cx // cx =要新增的值
movq z_len+
8(fp)
, r11 // r11=新切片長度，即reflect.sliceheader.len
movq $0
, bx // bx =0，迴圈計數，以下用i表示
cmpq r11, $4
jl e5 // 新切片長度小於4
// 待處理元素數量》=4時，由u5過程處理，否則由l5處理，估計是為了提高快取命中率 
// 處理的過程基本相同
u5: movq (0*
8)(r8)
(bx*8)
, ax
mulq r9
addq cx, ax
adcq $0
, dx
movq ax,(0
*8)(r10)
(bx*8)
movq dx, cx
movq (1*
8)(r8)
(bx*8)
, ax
mulq r9
addq cx, ax
adcq $0
, dx
movq ax,(1
*8)(r10)
(bx*8)
movq dx, cx
movq (2*
8)(r8)
(bx*8)
, ax
mulq r9
addq cx, ax
adcq $0
, dx
movq ax,(2
*8)(r10)
(bx*8)
movq dx, cx
movq (3*
8)(r8)
(bx*8)
, ax
mulq r9
addq cx, ax
adcq $0
, dx
movq ax,(3
*8)(r10)
(bx*8)
movq dx, cx
addq $4
, bx // 已處理的i += 4
leaq 4
(bx)
, dx // 測試 i+4 和 切片長度的大小
cmpq dx, r11
jle u5 // 還有4個以上待處理元素
jmp e5
l5: movq (r8)
(bx*8)
, ax // ax=原切片第i個元素值
mulq r9 // (dx, ax) = x[i] * y 
addq cx, ax // (dx, ax) = x[i] * y + cx
adcq $0
, dx
movq ax,
(r10)
(bx*8)
// 低64位寫入新切片
movq dx, cx // 高64位放入cx
addq $1
, bx // i++
e5: cmpq bx, r11
jl l5 // i小於新切片長度
movq cx, c+
64(fp)
// 將最終的高64位返回
ret

func
(x *int)
string()
string
//以原生態的形式顯示大數的符號和各個係數。
func
(x *int)
text
(base int
)string
//以指定進製顯示大數的數值形式。

big包中提供了很多大數計算的方法，如加減乘除、與或非等等。當然還有大浮點數、大有理數。

golang的大數表示

羅馬數表示整數

整數表示問題。

分數表示法

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