P05 二維費用的揹包問題

2021-08-31 22:41:57 字數 903 閱讀 5613

二維費用的揹包問題是指:對於每件物品,具有兩種不同的費用;選擇這件物品必須同時付出這兩種代價;對於每種代價都有 乙個可付出的最大值(揹包容量)。問怎樣選擇物品可以得到最大的價值。設這兩種代價分別為代價1和代價2,第i件物品所需的兩種代價分別為a[i]和 b[i]。兩種代價可付出的最大值(兩種揹包容量)分別為v和u。物品的價值為w[i]。

費用加了一維,只需狀態也加一維即可。設f[i][v][u]表示前i件物品付出兩種代價分別為v和u時可獲得的最大價值。狀態轉移方程就是:

f[i][v][u]=max

如前述方法,可以只使用二維的陣列:當每件物品只可以取一次時變數v和u採用逆序的迴圈,當物品有如完全揹包問題時採用順序的迴圈。當物品有如多重揹包問題時拆分物品。這裡就不再給出偽**了,相信有了前面的基礎,你能夠自己實現出這個問題的程式。

有時,「二維費用」的條件是以這樣一種隱含的方式給出的:最多只能取m件物品。這事實上相當於每件物品多了一種「件數 」的費用,每個物品的件數費用均為1,可以付出的最大件數費用為m。換句話說,設f[v][m]表示付出費用v、最多選m件時可得到的最大價值,則根據物 品的型別(01、完全、多重)用不同的方法迴圈更新,最後在f[0..v][0..m]範圍內尋找答案。

另一種看待二維揹包問題的思路是:將它看待成複數域上的揹包問題。也就是說,揹包的容量以及每件物品的費用都是乙個復 數。而常見的一維揹包問題則是實數域上的揹包問題。(注意:上面的話其實不嚴謹,因為事實上我們處理的都只是整數而已。)所以說,一維揹包的種種思想方法,往往可以應用於二位揹包問題的求解中,因為只是數域擴大了而已。

作為這種思想的練習,你可以嘗試將p11中提到的「子集和問題」擴充套件到複數域(即二維),並試圖用同樣的複雜度解決。

當發現由熟悉的動態規劃題目變形得來的題目時,在原來的狀態中加一緯以滿足新的限制是一種比較通用的方法。希望你能從本講中初步體會到這種方法。

P05 二維費用的揹包問題

二維費用的揹包問題是指 對於每件物品,具有兩種不同的費用 選擇這件物品必須同時付出這兩種代價 對於每種代價都有 乙個可付出的最大值 揹包容量 問怎樣選擇物品可以得到最大的價值。設這兩種代價分別為代價1和代價2,第i件物品所需的兩種代價分別為a i 和 b i 兩種代價可付出的最大值 兩種揹包容量 分...

P05 二維費用的揹包問題

二維費用的揹包問題是指 對於每件物品,具有兩種不同的費用 選擇這件物品必須同時付出這兩種代價 對於每種代價都有 乙個可付出的最大值 揹包容量 問怎樣選擇物品可以得到最大的價值。設這兩種代價分別為代價1和代價2,第i件物品所需的兩種代價分別為a i 和 b i 兩種代價可付出的最大值 兩種揹包容量 分...

二維費用的揹包問題

問題 二維費用的揹包問題是指 對於每件物品,具有兩種不同的費用 選擇這件物品必須同時付出這兩種代價 對於每種代價都有乙個可付出的最大值 揹包容量 問怎樣選擇物品可以得到最大的價值。設這兩種代價分別為代價1和代價2,第i件物品所需的兩種代價分別為a i 和b i 兩種代價可付出的最大值 兩種揹包容量 ...