這節我們介紹堆排序。
、堆排序
在直接選擇排序中，順序表是乙個線性結構，要從有n個記錄的順序表中選擇出乙個最小的記錄需要比較n-1 次。如能把待排序的n個記錄構成乙個完全二叉樹結構，則每次選擇出乙個最大（或最小）的記錄比較的次數就是完全二叉樹的高度， 即log2n次， 則排序演算法的時間複雜度就是o （nlog2n） 。 這就是堆排序(heap sort)的基本思想。
堆分為最大堆和最小堆兩種。最大堆的定義如下：
設順序表sqlist中存放了n個記錄， 對於任意的i(0≤i≤n-1)， 如果2i+1如果把這 n 個記錄看作是一棵完全二叉樹的結點，則 sqlist[0]對應完全二叉樹的根， sqlist[1]對應樹根的左孩子結點， sqlist[2]對應樹根的右孩子結點， sqlist[3]對應 sqlist[1]的左孩子結點，sqlist[4]對應 sqlist[2]的右孩子結點，如此等等。在此基礎上，只需調整所有非葉子結點滿足：sqlist[i] 的關鍵碼不小於 sqlist[2i+1] 的關鍵碼和 sqlist[i] 的關鍵碼不小於 sqlist[2i+2]
的關鍵碼，則這樣的完全二叉樹就是乙個最大堆。
下圖1(a)所示是一棵完全二叉樹，下圖1(b)所示是乙個最大堆。
類似地，最小堆的定義如下：
設順序表sqlist中存放了n個記錄， 對於任意的i(0≤i≤n-1)， 如果2i+1
由堆的定義可知，堆有如下兩個性質：
（1）最大堆的根結點是堆中關鍵碼最大的結點，最小堆的根結點是堆中關鍵碼最小的結點，我們稱堆的根結點記錄為堆頂記錄。
（2）對於最大堆，從根結點到每個葉子結點的路徑上，結點組成的序列都是遞減有序的；對於最小堆，從根結點到每個葉子結點的路徑上，結點組成的序列都是遞增有序的。
堆排序的過程是：設有 n 個記錄，首先將這 n 個記錄按關鍵碼建成堆，將堆頂記錄輸出，得到 n 個記錄中關鍵碼最大（或最小）的記錄。然後，再把剩下的n-1 個記錄，輸出堆頂記錄，得到 n 個記錄中關鍵碼次大（或次小）的記錄。如此反覆，便可得到乙個按關鍵碼有序的序列。
因此，實現堆排序需解決兩個問題：
（1）如何將 n 個記錄的序列按關鍵碼建成堆；
（2）輸出堆頂記錄後，怎樣調整剩下的 n-1 個記錄，使其按關鍵碼成為乙個新堆。
首先，以最大堆為例討論第乙個問題：如何將 n 個記錄的序列按關鍵碼建成堆。
根據前面的定義，順序表 sqlist 中的 n 個記錄構成一棵完全二叉樹，所有的葉子結點都滿足最大堆的定義。 對於第 1 個非葉子結點 sqlist[i] （i=(n-1)/2） ,由於其左孩子結點 sqlist[2i+1]和右孩子結點 sqlist[2i+2]都已是最大堆，所以，只需首先找出 sqlist[2i+1]結點和 sqlist[2i+2]結點中關鍵碼的較大者，然後與 sqlist[i]結點的關鍵碼進行比較，如果 sqlist[i]結點的關鍵碼大於或等於這個較大的結點的關鍵碼，則以 sqlist[i]結點為根結點的完全二叉樹已滿足最大堆的定義；否則，對換 sqlist[i]結點和關鍵碼較大的結點，對換後以sqlist[i]結點為根結點的完全二叉樹滿足最大堆的定義。按照這樣的方法，再調整第 2 個非葉子結點 sqlist[i-1] （i=(n-1)/2） ，第 3 個非葉子結點sqlist[i-2]，……，直到根結點。當根結點調整完後，則這棵完全二叉樹就是乙個最大堆了。
當要調整結點的左右孩子結點是葉子結點時，上述調整過程非常簡單；當要調整結點的左右孩子結點不是葉子結點時，上述調整過程要稍微複雜一些。因為調整過後，可能引起以左孩子結點（或右孩子結點）為根結點的完全二叉樹不是乙個最大堆，這時，需要調整以左孩子結點（或右孩子結點）為根結點的完全二叉樹，使之成為乙個最大堆.
下圖3
說明了如何把圖1(a)所示的完全二叉樹建成圖1(b)所示的最大堆的過程。
第一步：從 i=(n-1)/2=(7-1)/2=3 開始，sqlist[3]的關鍵碼 27 小於sqlist[7]的關鍵碼 48， 所以， sqlist[3]與 sqlist[7]交換， 這樣， 以 sqlist[3]為根結點的完全二叉樹是乙個最大堆，如圖(b)所示。
第二步：當 i=1 時，由於 sqlist[1]的關鍵碼 20 小於 sqlist[3]的關鍵碼48，所以將 sqlist[1]與 sqlist[3]交換，這樣導致 sqlist[3]的關鍵碼 20 小於sqlist[7]的關鍵碼 27， 所以將 sqlist[3]與 sqlist[7]交換， 這樣， 以 sqlist[1]為根結點的完全二叉樹是乙個最大堆，如圖(d)所示。
第三步：當 i=0 時，對堆頂結點記錄進行調整，由於 sqlist[0] 的關鍵碼42小於sqlist[1] 的關鍵碼 48，所以將 sqlist[0]與 sqlist[1]交換，這樣，
以 sqlist[0]為根結點的完全二叉樹是乙個最大堆，如圖(e)所示，整個堆建立的過程完成。
建堆的演算法如下所示，演算法中記錄的比較表示記錄關鍵碼的比較，順序表中只存放了記錄的關鍵碼。
//建立堆的演算法
public void createheap(seqlistsqlist, int low, int high)
//就想起商議5
if (tmp < sqlist[j])
else
} sqlist[k] = tmp;
} }
}//雙層迴圈 演算法的時間的複雜度是o(n2)
堆排序的演算法如下所示，演算法中記錄的比較表示記錄關鍵碼的比較，順序表中只存放了記錄的關鍵碼：
1 //進行堆排序
2 public void heapsort(seqlistsqlist)
3
20 }
21 //由於用到遞迴，所以時間的複雜度是o(nlog2n)
第一步：將堆頂記錄（關鍵碼為 48）與順序表最後乙個記錄（關鍵碼為 20進行交換，使得堆頂記錄的關鍵碼 20 比根結點的左孩子結點的關鍵碼 42 小，於是重新調整堆（記錄的範圍是從順序表的第乙個記錄到倒數第二個記錄，為了表示出順序表的最後乙個記錄不在調整的範圍之內，下圖4(a)已經把最後乙個結點從完全二叉樹中去掉，以下同）。調整過程見下圖4(b)所示。
第二步：將堆頂記錄（關鍵碼為 42）與順序表倒數第二個記錄（關鍵碼為17*）進行交換，使得堆頂記錄的關鍵碼 17*比根結點的左孩子結點的關鍵碼 22小，於是重新調整堆（記錄的範圍是從順序表的第乙個記錄到倒數第三個記錄） 。調整過程見下圖4(c)所示。
第三步： 將堆頂記錄 （關鍵碼為 27） 與順序表倒數第三個記錄 （關鍵碼為 8）進行交換，使得堆頂記錄的關鍵碼 8 比根結點的左孩子結點的關鍵碼 20 小，於是重新調整堆（記錄的範圍是從順序表的第乙個記錄到倒數第四個記錄） 。調整過程見下圖4(d)所示。
第四步：將堆頂記錄（關鍵碼為 20）與順序表倒數第四個記錄（關鍵碼為13）進行交換，使得堆頂記錄的關鍵碼 13 比根結點的左孩子結點的關鍵碼 17*小，於是重新調整堆（記錄的範圍是從順序表的第乙個記錄到倒數第五個記錄） 。調整過程見下圖4(e)所示。
第五步：將堆頂記錄（關鍵碼為 17*）與順序表倒數第五個記錄（關鍵碼為8）進行交換，使得堆頂記錄的關鍵碼比根結點的右孩子結點的關鍵碼 17 值小，於是重新調整堆（記錄的範圍是從順序表的第乙個記錄到倒數第六個記錄） 。調整過程見圖 下圖4(f)所示。
第六步： 將堆頂記錄 （關鍵碼為 17） 與順序表倒數第六個記錄 （關鍵碼為 8）進行交換，使得堆頂記錄的關鍵碼 8 比根結點的左孩子結點的關鍵碼 13 小，於1是重新調整堆（記錄的範圍是從順序表的第乙個記錄到倒數第七個記錄） 。調整過程見圖4(g)所示。
第七步：將堆頂記錄（關鍵碼為 13）與順序表第二個記錄（關鍵碼為 13）進行交換，調整過程結束。調整過程見圖4(h)所示
堆排序是一種較難的排序，思路是構建堆，在排序。 下節我繼續介紹排序的內容。
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