常用的排序演算法

c++中幾種常用的排序演算法的最好和最壞的情況：

1 直接插入排序：比較次數最少n-1次；最多(n-1)(n+2)/2

移動次數最少0；最多(n-1)(n+4)/2

使用乙個輔助儲存空間，是穩定的排序；

2 折半插入排序：比較次數最少與最多同，都是n*log2n（其中2為底，下邊表示同），

移動次數最少0，最多時間複雜度為o(n2);(n的平方，以下也如此表示)；

使用乙個輔助儲存空間，是穩定的排序；

3 氣泡排序：比較最少為：n-1次，最多時間複雜度表示為o(n2);

移動次數最少為0，最多時間複雜度表示為o(n2);

使用乙個輔存空間，是穩定的排序；

4 簡單選擇排序：比較次數沒有多少之分，均是n(n-1)/2;

移動次數最少為0，最多為3(n-1);

使用乙個輔存空間，是穩定的排序；

5 快速排序：比較和移動次數最少時間複雜度表示為o(n*log2n);

比較和移動次數最多的時間複雜度表示為o(n2);

使用的輔助儲存空間最少為log2n，最多為n的平方；是不穩定的排序；

6 堆排序：比較和移動次數沒有好壞之分，都是o(n*log2n);

使用乙個輔存空間，是不穩定的排序；

7 2-路歸併排序：比較和移動次數沒有好壞之分，都是o(n*log2n);

需要n個輔助儲存空間，是穩定的排序；

其具體實現演算法：

氣泡排序 (bubble sort)

氣泡排序是最簡單粗暴的排序方法之一。它的原理很簡單，每次從左到右兩兩比較，把大的交換到後面，每次可以確保將前m個元素的最大值移動到最右邊。

步驟從左開始比較相鄰的兩個元素x和y，如果 x > y 就交換兩者

執行比較和交換，直到到達陣列的最後乙個元素

重複執行1和2，直到執行n次，也就是n個最大元素都排到了最後

void bubble_sort(vector&nums)}}
}

交換的那一步可以不借助temp，方法是

nums[j] += nums[j + 1];

nums[j + 1] = num[j] - nums[j + 1];

nums[j] -= num[j + 1];

複雜度分析

由於我們要重複執行n次冒泡，每次冒泡要執行n次比較（實際是1到n的等差數列，也就是(a1 + an) * n / 2），也就是 o(n^2)。空間複雜度是o(n)。

2. 插入排序（insertion sort）

插入排序的原理是從左到右，把選出的乙個數和前面的數進行比較，找到最適合它的位置放入，使前面部分有序。

步驟從左開始，選出當前位置的數x，和它之前的數y比較，如果x < y則交換兩者

對x之前的數都執行1步驟，直到前面的數字都有序

選擇有序部分後乙個數字，插入到前面有序部分，直到沒有數字可選擇

void insert_sort(vector&nums)}}
}

複雜度分析

因為要選擇n次，而且插入時最壞要比較n次，所以時間複雜度同樣是o(n^2)。空間複雜度是o(n)。

3. 選擇排序（selection sort）

選擇排序的原理是，每次都從亂序陣列中找到最大（最小）值，放到當前亂序陣列頭部，最終使陣列有序。

步驟從左開始，選擇後面元素中最小值，和最左元素交換

從當前已交換位置往後執行，直到最後乙個元素

void selection_sort(vector&nums)
}int temp = nums[i];
nums[i] = nums[min];
nums[min] = temp;
}}

複雜度分析

每次要找一遍最小值，最壞情況下找n次，這樣的過程要執行n次，所以時間複雜度還是o(n^2)。空間複雜度是o(n)。

4. 希爾排序（shell sort）

希爾排序從名字上看不出來特點，因為它是以發明者命名的。它的另乙個名字是「遞減增量排序演算法「。這個演算法可以看作是插入排序的優化版，因為插入排序需要一位一位比較，然後放置到正確位置。為了提公升比較的跨度，希爾排序將陣列按照一定步長分成幾個子陣列進行排序，通過逐漸減短步長來完成最終排序。

例子例如 [10, 80, 70, 100, 90, 30, 20] 如果我們按照一次減一半的步長來算，這個陣列第一次排序時以3為步長，子陣列是：

10 80 70 90 30 20 100

這裡其實按照列劃分的4個子陣列，排序後結果為

10 30 20 90 80 70 100

也就是 [10, 30 20 90 80 70 100]

然後再以1為步長生成子陣列

10 30 20 …

這個時候就是一縱列了，也就是說最後一定是以乙個陣列來排序的。

步驟計算當前步長，按步長劃分子陣列

子陣列內插入排序

步長除以2後繼續12兩步，直到步長最後變成1

void shell_sort(vector&nums)
nums[j + gap] = temp;}}
}

複雜度分析

希爾排序的時間複雜度受步長的影響，具體分析在維基百科。

5. 歸併排序（merge sort）

歸併排序是採用分治法（divide and conquer）的乙個典型例子。這個排序的特點是把乙個陣列打散成小陣列，然後再把小陣列拼湊再排序，直到最終陣列有序。

步驟把當前陣列分化成n個單位為1的子陣列，然後兩兩比較合併成單位為2的n/2個子陣列

繼續進行這個過程，按照2的倍數進行子陣列的比較合併，直到最終陣列有序

void merge_array(vector&nums, int b, int m, int e, vector&temp)
void merge_sort(vector&nums, int b, int e, vector&temp)
}

這個實現中加了乙個temp，是和原陣列一樣大的乙個空間，用來臨時存放排序後的子陣列的。

複雜度分析

在merge_array過程中，實際的操作是當前兩個子陣列的長度，即2m。又因為打散陣列是二分的，最終迴圈執行數是logn。所以這個演算法最終時間複雜度是o(nlogn)，空間複雜度是o(n)。

6. 快速排序（quick sort）

快速排序也是利用分治法實現的乙個排序演算法。快速排序和歸併排序不同，它不是一半一半的分子陣列，而是選擇乙個基準數，把比這個數小的挪到左邊，把比這個數大的移到右邊。然後不斷對左右兩部分也執行相同步驟，直到整個陣列有序。

步驟用乙個基準數將陣列分成兩個子陣列

將大於基準數的移到右邊，小於的移到左邊

遞迴的對子陣列重複執行1，2，直到整個陣列有序

void quick_sort(vector&nums, int b, int e, vector&temp)
temp[lb] = nums[m];
for (int i = b; i < e; i++)
nums[i] = temp[i];
quick_sort(nums, b, lb, temp);
quick_sort(nums, lb + 1, e, temp);
}}//解法2: 不需要輔助空間
void quick_sort(vector&nums, int b, int e)
swap(nums[b], nums[lb]);
quick_sort(nums, b, lb);
quick_sort(nums, lb + 1, e);
}}

複雜度分析

快速排序也是乙個不穩定排序，時間複雜度看維基百科。空間複雜度是o(n)。

7. 堆排序（heap sort）

堆排序經常用於求乙個陣列中最大k個元素時。因為堆實際上是乙個完全二叉樹，所以用它可以用一維陣列來表示。因為最大堆的第一位總為當前堆中最大值，所以每次將最大值移除後，調整堆即可獲得下乙個最大值，通過一遍一遍執行這個過程就可以得到前k大元素，或者使堆有序。

在了解演算法之前，首先了解在一維陣列中節點的下標：

i節點的父節點 parent(i) = floor((i-1)/2)

i節點的左子節點 left(i) = 2i + 1

i節點的右子節點 right(i) = 2i + 2

步驟構造最大堆（build max heap）：首先將當前元素放入最大堆下乙個位置，然後將此元素依次和它的父節點比較，如果大於父節點就和父節點交換，直到比較到根節點。重複執行到最後乙個元素。

最大堆調整（max heapify）：調整最大堆即將根節點移除後重新整理堆。整理方法為將根節點和最後乙個節點交換，然後把堆看做n-1長度，將當前根節點逐步移動到其應該在的位置。

堆排序（heapsort）：重複執行2，直到所有根節點都已移除。

void heap_sort(vector&nums)
for (int i = n - 1; i > 0; i--) 
}void max_heapify(vector&nums, int beg, int end)
if (nums[curr] < nums[child]) else 
}}

複雜度分析

堆執行一次調整需要o(logn)的時間，在排序過程中需要遍歷所有元素執行堆調整，所以最終時間複雜度是o(nlogn)。空間複雜度是o(n)。

常用的排序演算法

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