擴充套件KMP演算法

擴充套件kmp：

擴充套件kmp可以用來解決很多字串問題，如求乙個字串的最長回文子串和最長重複子串。

【演算法】

設next[i]為滿足b[i…i+z-1]==b[0…z-1]的最大的z值（也就是b的自身匹配）。設目前next[0…lenb-1]與ex[0…i-1]均已求出，要用它們來求ex[i]的值。

設p為目前a串中匹配到的最遠位置，k為讓其匹配到最遠位置的值（或者說，k是在0<=i0k，所以又有a[i…p]==b[i-k…p-k]，設l=next[i-k]，則根據next的定義有b[0…l-1]==b[i-k…i-k+l-1]。考慮i-k+l-1與p-k的關係：

（1）i-k+l-1=l。又由於next的定義可得，

a[i+l]必然不等於b[l]（否則a[i…i+l]==b[0…l]，因為i+l<=p，所以a[i…i+l]==b[i-k…i-k+l]，這樣b[0…l]==b[i-k…i-k+l]，故next[i-k]的值應為l+1或更大），這樣，可以直接得到ex[i]=l！

（2）i+k-l+1>=p-k，即i+l>p。這時，首先可以知道a[i…p]和b[0…p-i]是相等的（因為a[i…p]==b[i-k…p-k]，而i+k-l+1>=p-k，由b[0…l-1]==b[i-k…i-k+l-1]可得b[0…p-i]==b[i-k…p-k]，即a[i…p]==b[0…p-i]），然

後，對於a[p+1]和b[p-i+1]是否相等，目前是不知道的（因為前面已經說過，p是目前a串中匹配到的最遠位置，在p之後無法知道任何一位的匹配資訊），因此，要從a[p+1]與b[p-i+1]開始往後繼續匹配（設j為目前

b的匹配位置的下標，一開始j=p-i+1，每次比較a[i+j]與b[j]是否相等，直到不相等或者越界為止，此時的j值就是ex[i]的值）。在這種情況下，p的值必然會得到延伸，因此更新k和p的值。

邊界：ex[0]的值需要預先求出，然後將初始的k設為0，p設為ex[0]-1。

對於求next陣列，也是「自身匹配」，類似kmp的方法處理即可。唯一的不同點也在邊界上：可以直接知道next[0]=lenb，next[1]的值預先求出，然後初始k=1，p=ex[1]。

需要嚴重注意的是，在上述的情況（2）中，本該從a[p+1]與b[p-i+1]開始匹配，但是，若p+1【時間複雜度分析】

在kmp和擴充套件kmp中，不管是a串還是b串，其匹配位置都是單調遞增的，故總時間複雜度是線性的，都為o(lena + lenb)（只是擴充套件kmp比kmp的常數更大一些）。

【應用】

kmp和擴充套件kmp在解決字串問題中有大用。很多看上去很猥瑣的字串問題，都可以歸結到這兩種演算法之中。另外，這裡的「字串」可以延伸為一切型別的陣列，而不僅僅是字元陣列。

**模板一

#include
using
namespace std;
const
int n =
101010
;int next[n]
,extand[n]
;void
getnext
(char
*t)else next[k]
= l;}}
void
getextand
(char
*s,char
*t)else extand[k]
= l;}}
intmain()
}

模板二

const
int max=
100010
;//字串長度最大值
int next[max]
,extend[max]
;//預處理計算next陣列
void
getnext
(char str)
}}//計算extend陣列
void
exkmp
(char s1,
char s2)
}}

應用

clairewd』s message hdu - 4300

題意：給你一張含有26個字母的密碼表，對應相應位置的字母a~z。再給你一組不完整的密文+明文，要求輸出完整的密文+明文。

思路：這道題問的就是將1個串如何變為stringa+stringb的形式，使得stringa是stringb經過對映得到相同的串。對映那步其實沒有什麼價值，假設str為原串s經過對映後得到的串，我們可以以str為模式串，以s為原串做一次擴充套件kmp，得到extend陣列，extend[i]表示原串以第i開始與模式串的字首的最長匹配。經過o(n)的列舉，我們可以得到,若extend[i]+i=len且i>=extend[i]時，表示stringb即為該點之前的串，stringa即為該點之前的str串，最後輸出即可。（將密文+明文翻譯過來，以原來的密文+明文為主串，翻譯後的字串為模式串，進行擴充套件kmp匹配。）

#include
#include
#include
#include
#include
using
namespace std;
int t,n,len;
char s[
100010
],t[
100010
],a[28]
;int next[
100010
],extand[
100010];
void
getnext
(char
*t)else next[k]
= l;}}
void
getextand
(char
*s,char
*t)else extand[k]
= l;}}
intmain()
}for
(int i=
0;i)printf
("%c"
,s[i]);
for(
int i=
0;i)printf
("%c"
,t[i]);
printf
("\n");
}}

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