演算法基礎二分答案

二分包括整數二分和浮點數二分，整數二分有兩種情況（兩個模板），浮點數二分只有一種情況（乙個模板）。

二分本質：如果能找到乙個性質將區間一分為二，一半滿足性質，一半不滿足性質，二分就可以尋找這個性質的邊界（滿足性質的邊界和不滿足性質的邊界都能找到），邊界就是我們要的答案。

假設某一性質可以將乙個l到r的區間一分為二，即如圖所示的紅色區間和綠色區間。兩個箭頭分別為兩個區間的邊界，即為我們所要求的答案。

二分首先應該找到區間中點：

int mid =
(l+r+1)
>>
1

或者是：

int mid =
(l+r)
>>
1

兩種找中點的**對應兩種情況。

然後判斷mid是否滿足紅色區間的性質或者綠色區間的性質：

if
(check
(mid)
)//check函式就是紅色區間的性質或者綠色區間的性質

第一種情況：假設答案滿足紅色區間，不滿足綠色區間①如果check(mid)為true，則mid在紅色區間上，我們所要求的答案就在[mid,r]這個區間裡，更新區間的方式為l=mid

②如果check(mid)為false，則mid在綠色區間上，我們要求的答案就在[l,mid-1]這個區間裡，更新區間的方式為r=mid-1。注意：這裡由於mid在綠色區間上，而我們的答案要滿足紅色區間的性質，所以mid已經不可能是答案，所以答案的區間是[l,mid-1]。

第二種情況：假設答案滿足綠色區間，不滿足紅色區間

①如果check(mid)為true，則mid在綠色區間上，我們所要求的答案就在[l,mid]這個區間裡，更新區間的方式為r=mid。

②如果check(mid)為false，則mid在紅色區間上，我們要求的答案就在[mid+1,r]這個區間裡，更新區間的方式為l=mid+1。注意：這裡由於mid在紅色區間上，而我們的答案要滿足綠色區間的性質，所以mid已經不可能是答案，所以答案的區間是[mid+1,r]。

第一種情況的**模板：

int
bsearch_1
(int l,
int r)
else
}return l;
}

第二種情況的**模板：

int
bsearch_2
(int l,
int r)
else
}return l;
}

問題：第一種情況的mid為什麼是(l + r + 1)>> 1，而第二種情況的mid是(l + r + )>> 1？

當區間為[l,r]，l=r-1時，如果mid=(l+r)>>1，則mid=(2l+1)>>1=l（下取整），在第一種情況中，如果check(mid)為true，則答案所在的區間還是[l,r]，這時每次迴圈都是[l,r]就進入了死迴圈。

所以第一種情況要補上+1！

由於浮點數沒有整除問題，每次區間長度可以嚴格縮小一半，所以只有一種情況，思路和整數二分一樣，同樣是判斷答案會落在哪乙個區間，保證每次答案落在區間裡，當區間長度非常小時，就可以認為找到了答案。

浮點數二分**模板：

double
bsearch_3
(double l,
double r)
else
}return l;
}

演算法基礎 二分答案