首先介紹一點數學知識。
事件 a 的指示器隨機變數i
i\i定義為：
i
== \begin 1 \quad 如果a發生\\ 0 \quad 如果a不發生 \end i=]
=pre[i\] = pr\
e[i]=p
r,其中p
rpr\
pr為事件a發生的概率。
期望性質：期望的和等於和的期望，即若x=∑
xix = \sum
x=∑xi
, 則e[∑
xi]=
∑e[x
i]e[\sum] = \sum
e[∑xi
]=∑e
[xi
]僱傭問題：輸入長度為n的陣列 a[0, …, n-1], 其元素數值代表每個人的能力。假定初始時助手的能力為0， 且每次遇到能力高於當前助手能力的人，便辭掉當前助手，並僱傭該人. 每次僱傭需要花費費用c
hc_h
ch，求總費用。
圖示：假設 a = [2, 1, 3].
在上述例子中，一共僱傭了兩次助手，花費為2ch
2c_h
2ch
.上述過程的**如下：
int hire( vector& a)
return cost;
}
最壞情況下，即陣列 a 按順序遞增時，花費最大，為陣列所有元素的和。
下面來關注僱傭問題中，僱傭乙個新助理的期望。
假定應聘者已隨機順序出現，x
ix_i
xi對應第 i 人被僱傭，其指示器隨機變數為：
x i=
i== \begin 1 \quad 第i位被僱傭\\ 0 \quad 第i位未被僱傭 \end
xi=i=
.
pr[xi
]=i1
.又因e [i
]=pr
e[i\] = pr\
e[i]=p
r, 因此e[i
]=1i
e[i\] = \frac
e[i]=i
1.則令x=∑
i=1n
xix = \sum_^x_i
x=∑i=1
nxi
, 有
e [i
]=∑i
=1n1
i=1+
12+.
..+1
ne[i\] = \sum_^ \frac = 1 + \frac + ... + \frac
e[i]=i
=1∑n
i1
=1+2
1+.
..+n
1由調和級數的性質可知，上式結果為：
e [i
]=ln
n+o(
1)e[i\] = lnn + o(1)
e[i]=l
nn+o
(1)即，面試了 n 個應聘者，平均意義上也只僱傭了lnn
lnnln
n個人。
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