正態分佈矩母函式的求解
必要公式推導
求的是∫exp(-(x^2)/2)dx,我們先考慮他的平方
(∫exp(-(x^2)/2)dx) * (∫exp(-(x^2)/2)dx) = (∫exp(-(x^2)/2)dx) * (∫exp(-(y^2)/2)dy) = ∫∫exp(-(x^2 + y^2)/2)dxdy
這裡把第二個積分的積分變數從x換成了y,這是可以的
再用極座標變換
x = rcost
y = rsint
得到：原式 = ∫dt∫r * exp(-(r^2)/2)dr
這裡t的範圍是0到2pi（圓周率）,r的範圍是0到無窮大.後面那個積分裡面出現了乙個r是因為在做換元法的時候需要乘以jacobi行列式.現在這兩個積分都可以積出來了
第乙個積分等於2pi,第二個積分用第一換元法把r放到微分裡面就可以直接積分,得到-exp(-r^2/2),r從0到無窮大,所以值為-exp(無窮大) + exp(0) = 1
所以原式 = 2pi * 1 = 2pi
所以你要求的積分等於(2pi)^(1/2)
其中jacobi行列式的計算如下
也能夠用面積計算的方式去理解rdrd
網上以為網友的提問的截圖，其實就可以利用二次項和一次項合併，以及上述證明的公式，最終推導出結果。
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