這一講主要介紹複數矩陣，其中乙個最重要的例子就是傅利葉矩陣，它可以進行傅利葉變換。另外我們還會有快速傅利葉變換。
復向量和復矩陣
首先我們面對的問題是如何求復向量的模長。我們可以回想一下，如何求乙個複數的長度，比如：z1=
a+bi
z_1=a+bi
z1=a+
bi，那麼∣z1
∣2=z
1ˉz1
|z_1|^2=\barz_1
∣z1∣2
=z1
ˉz1
。對於向量，也是同樣的方法，只不過還要遵循向量的乘法規律，也就是需要轉置一下。那麼求模長的公式，就比較顯然了，對於復向量z
zz：∣z∣
2=zˉ
tz
|z|^2=\bar^tz
∣z∣2=z
ˉtz實際上可以簡寫為：∣z∣
2=zh
z|z|^2=z^hz
∣z∣2=z
hz公式上的h
hh是埃爾公尺特(he
rmit
e)
(hermite)
(hermi
te)的簡稱，意味著取共軛然後轉置。那麼，類似的就可以得到兩個復向量的乘法公式了，比如復向量x,y
x,yx,
y的乘積：yhx
y^hx
yhx。
複數下的對稱矩陣。在實矩陣中對於對稱矩陣我們有ata
a^ta
ata，但是在復矩陣中，對稱矩陣滿足zh=
zz^h=z
zh=z
，並且這樣的矩陣我們稱之為：埃爾公尺特矩陣。這樣的矩陣的特徵值都為實數，並且特徵向量相互垂直。在實矩陣中我們將由相互垂直的向量組成的矩陣稱為正交矩陣q
qq，並且它滿足qtq
=i
q^tq=i
qtq=
i。但是對於復矩陣，它的相互垂直的特徵向量組成的矩陣u
uu，滿足：uhu
=i
u^hu=i
uhu=
i。此外，它不叫正交矩陣，它交酉矩陣(un
itar
y)
(unitary)
(unita
ry)。
傅利葉矩陣
我們先給出乙個示例是乙個n×n
n\times n
n×n的傅利葉矩陣。傅利葉矩陣有乙個特殊的地方那就是它的索引是從0
00開始的，而不是從1
11。如下：fn=
[111
...1
1ww2
...w
n−11
w2w4
...w
2(n−
1)::
:::1
wn−1
w2(n
−1).
..w(
n−1)
2]
f_n=\begin1&1&1&...&1\\1&w&w^2&...&w^\\1&w^2&w^4&...&w^\\:&:&:&:&:\\1&w^&w^&...&w^\end
fn=⎣⎢
⎢⎢⎢⎡
111
:11
ww2:
wn−1
1w2
w4:w
2(n−
1).
....
....
:...
1wn
−1w2
(n−1
):w(
n−1)
2⎦⎥
⎥⎥⎥⎤
我們可以發現，每一項fij
=wij
i,j=
0,1,
2...n−
1。
f_=w^\qquad i,j=0,1,2...n-1。
fij=w
iji,
j=0,
1,2.
..n−
1。其中：w=e
2πni
w=e^i}
w=en2π
i關於w
ww，我們可以計算得到wn=
1w^n=1
wn=1
，n
nn是矩陣的階數。w
ww是位於單位圓上的，可以參考尤拉公式，了解更過的複數細節。這是乙個一般性的例子，我們可以看乙個實際數字的例子，比如當n=4
n=4n=
4的時候：f4=
[111
11ii
2i31
i2i4
i61i
3i6i
9]=[
1111
1i−1
−i1−
11−1
1−i−
1i
]f_4=\begin1&1&1&1\\1&i&i^2&i^3\\1&i^2&i^4&i^6\\1&i^3&i^6&i^9\end=\begin1&1&1&1\\1&i&-1&-i\\1&-1&1&-1\\1&-i&-1&i\end
f4=⎣⎢
⎢⎡1
111
1ii2
i31
i2i4
i61
i3i6
i9⎦
⎥⎥⎤
=⎣⎢⎢
⎡11
111
i−1−
i1−
11−1
1−i
−1i
⎦⎥⎥⎤
這個矩陣的各列都是正交的，驗證的時候注意復向量的正交和實向量的正交是不同的。由於矩陣的各列都是正交的，我們可以把這個矩陣分解成許多個稀疏矩陣。另外由於矩陣的各列都是正交的，我們得到f4h
f4=i
f_4^hf_4=i
f4hf4
=i，所以我們很快就得到了矩陣的逆為f4h
f_4^h
f4h
。快速傅利葉變換
快速傅利葉變換是通過分解矩陣來減少計算消耗。具體的內容參考其他資料。
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