逆矩陣
本節是網易公開課上的麻省理工大學線性代數課程第三節： 矩陣乘法和逆矩陣 的學習筆記。
矩陣相乘，並不一定要求是方陣。
如果矩陣a是乙個 mxn 的矩陣（m行，n列），則矩陣b必須是乙個 nxp（n行，p列）的矩陣，這樣兩者才能相乘，相乘的結果矩陣c是乙個 mxp（m行，p列）的矩陣。
假設 ab=
c 。那c34
=?
答案： c34
=a3,
:⋅b:
,4=a
3,1b
1,4+
a3,2
⋅b2,
4=∑a
3,kb
k,4
其中：a3,
:⋅b:
,4表示矩陣a的第三行元素（乙個向量）和矩陣b的第四列元素（乙個向量）的點積。
繼續上面的 ab
=c。矩陣a(mxn) 乘以矩陣b(nxp) 可以理解為矩陣a分別乘以矩陣b的每一列的向量（總共p個），得到的結果分別對應矩陣c中對應的某列元素。而矩陣a乘以向量可以理解為矩陣a中各列的線性組合（可參看 第一節 中的知識）。
這樣，矩陣c中的每一列其實就是矩陣a中的每一列的線性組合，而矩陣b中的數字相當於告訴怎麼進行線性組合。
矩陣a(mxn) 乘以矩陣b(nxp) 可以理解為矩陣a中的每一行的向量乘以矩陣b，得到的結果分別對應矩陣c中對應的某行元素。而向量乘以矩陣b可以理解為矩陣b中各行的線性組合。
這樣，矩陣c中的每一行其實就是矩陣b中的每一行的線性組合，而矩陣a中的數字相當於告訴怎麼進行線性組合。
如果使用乙個行向量(1xn)乘以乙個列向量(nx1)結果是乙個數，那使用列向量(mx1)乘以行向量(1xp)呢？
結果會是乙個mxn矩陣，這個矩陣非常特殊。它的每一列元素分別是列向量的線性組合，它的每一行元素都分別是行向量的線性組合。
也就是說，結果矩陣的每一行都依賴於向量[1,6]，如果畫出這個矩陣的所有行向量，它們都是同乙個方向。同理，如果畫出這個矩陣的所有列向量，它們也都是同乙個方向的。
換一種說法，該矩陣的行空間是一條直線，其所有的行向量都在過(1,6)這兩點的直線上。
基於這種思路，我們來使用列乘以行來解決矩陣相乘的問題。ab等於矩陣a各列與矩陣b各行乘積之和。
可以將矩陣a分成幾部分，簡單起見，分成4部分，即四塊。簡單起見，假設矩陣a是方陣（mxm），矩陣b也是方陣（mxm）。一張圖說明問題：
假設乙個矩陣a，如果存在左逆，則：a−
1a=i
，如果存在右逆，則：aa
−1=i
，其中 a−
1 表示a的逆矩陣，
i 表示單位矩陣。如果a是方陣的話，左逆矩陣等於右逆矩陣。
如果矩陣存在可逆矩陣，則稱該矩陣是可逆的、或者非奇異的。
假設矩陣a為：[1
236]
該矩陣不可逆，考慮下為什麼呢？
解釋方式一：
矩陣可逆的前提是該矩陣乘以乙個矩陣能夠得到單位矩陣或者乙個矩陣乘以該矩陣能夠得到單位矩陣。結合上面將的矩陣乘法知識，如果a乘以乙個矩陣，那麼這個結果矩陣的每一列是a的每一列的線性組合，考慮下，因為a中的兩列向量共線，經過點（1,2），而單位矩陣的列向量[1,0]和[0,1]不在其上，所以是這種情況下是不可能得到單位矩陣的。
解釋方式二：
如果存在非零向量x，使得ax=0,那麼矩陣不可逆。[1
236]
[−31
]=[0
0]也就是說，如果矩陣中的一列對線性組合毫無貢獻，矩陣不可能有逆。
我們可以假設如果存在乙個非零向量x，使得ax=0，且我們也假設a存在可逆矩陣 a−
1 。則： a−
1ax=
a−10
化簡後得：x=0。這明顯不正確，所以假設不成立。
解釋方式三：
如果矩陣的行列式為0，則該矩陣不可逆。
假設矩陣a如下： [1
237]
可以證明，該矩陣是可逆的，假設存在乙個矩陣，使得： [1
237]
[abc
d]=[
1001
] 通過上面的關係，我們可以根據矩陣乘法中的列方法得到乙個方程組（以矩陣形式表示出來）： [1
237]
[ab]
=[10
][12
37][
cd]=
[01]
現在，我們來構造乙個新的矩陣，該矩陣包含兩部分，一部分是原始矩陣a，另一部分是單位矩陣i。 [1
237|
|100
1]對該矩陣的左邊進行消元，將其變為單位矩陣，此時右邊部分就為矩陣a的逆矩陣。 [1
237|
|100
1]→r
ow2=
row2
−2ro
w1[1
031|
|1−2
01]→
row1
=row
1−3r
ow2[
1001
||7−
2−31
] 驗證結果： [1
237]
[7−2
−31]
=[10
01]
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