第三課時：乘法與逆矩陣
本課時先講解矩陣乘法運算，然後是逆矩陣
一、矩陣乘法：5種方法
am×n bn×p = cm×p，a列必須等於b的行數
1）常規方法，行列點乘法：c=ab，c中的第i行j列結果來自a的第i行向量與b的第j列向量的點乘。整行整列的進行。
2）列方法，整列考慮，列的線性組合方式：b的乙個列向量乘以a（矩陣a各列向量的線性組合）得到c的對應列向量，此過程其餘列向量暫不參與計算。
3）行方法，整行考慮，行的線性組合方式：a的乙個行向量乘以b（矩陣b各行向量的線性組合）得到c的對應行向量，此過程其餘行向量暫不參與計算。
4）列×行法：ab等於a各列與b各行乘積之和：a中列乘以b中行，如a第一列乘以b第一行得乙個矩陣（這樣的矩陣很特殊，行向量和列向量都是單個向量的線性組合，第四講會講到有關行空間，列空間的概念），最後將得到的各矩陣相加。我們就看一列和一行相乘的例子：
特殊之處：右側矩陣的行空間是一條直線，即行所有可能的線性組合都在一條直線上；同理其列空間也是直線。所以這實際上是乙個很小的矩陣。
5）分塊乘法：將矩陣a，b分成能夠相互匹配的塊，然後對應進行分塊行點乘分塊列。
二、矩陣的逆
對於可逆方陣，左逆矩陣等於右逆矩陣。
什麼樣的矩陣可逆或者說是非奇異的？
我們可以討論奇異矩陣，不可逆的情況。
1）行列式為0
2）列影象思考，假設a可逆，那a乘以他的逆矩陣得單位矩陣，a矩陣乘以其逆矩陣的第一列得單位矩陣的第一列（1 0），因為其列的線性組合始終在（1 2）這條直線上，所以不可能得到（1 0）向量。
結論：不可逆矩陣，奇異矩陣，其列能通過線性組合得到0向量。
如何求逆？
1）利用列的線性組合思想，矩陣a乘以該求的逆矩陣得到單位矩陣，這樣，求逆和求方程組是乙個意思
2）將兩個方程組放在一起考慮，如下，可理解為係數矩陣不變，分別求兩個方程組的解，即可求得矩陣的逆。我們把下面兩個放在一起考慮，形成
增廣矩陣，使得消元變換對兩個方程組的作用是一樣的。將增廣矩陣的左側變換消元為單位矩陣，右側就變成其逆矩陣了。這是高斯-若爾當思想消元。
為什麼增廣矩陣的右側變成的是矩陣a的逆，以下變換給予證明：e為一次性的消元矩陣，ea=i，那麼e=a-1了
a和b都存在逆，那麼ab的逆是多少？
是b的逆乘以a的逆得到的矩陣。為什麼相乘的順序要反過來？因為逆即是逆操作。
可逆矩陣轉置的逆是什麼？
a乘以a的逆等於單位矩陣，兩側同時轉置，右側單位矩陣轉置仍然得單位矩陣，左側分別轉置兩個矩陣，然後以相反順序相乘，因此a的逆的轉置乘以a的轉置得到單位陣。a轉置的逆即是a的逆的轉置。因此，要求a轉置的逆，只需要先求a的逆，然後求該逆的轉置即可。轉置和逆兩種乘法運算，對於單個矩陣而已，其順序可以顛倒。
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