基於指標選擇的多目標搜尋（ibea）
摘要：這篇文章討論了決策者的偏好資訊通常是如何能整合到多目標搜尋中的。主要的思想是：首先是用二元效能指標的形式定義最優目標，然後在選擇過程中直接使用這個指標。鑑於此，我們提出了乙個通用的，能與任何指標結合的基於指標的進化演算法。與現存演算法明顯不同的是，ibea能適應使用者的偏好並且不需要額外的多樣性保留機制（例如曾被使用的適應度分享）。
一． 動機
在多目標條件下，優化過程的最終目標是找ps（帕累託最優解集）的較好逼近。但難點是，逼近ps沒有乙個標準的定義。每乙個特殊定義代表取決於使用者的特殊參考資訊。例如，乙個可以作為統一化的目標作為被近似結果支配的目標空間的超體積最大化。在某種條件下這個定義是接近的，但在另一種情況下可能就不接近了，因為每個決策者和問題的優化過程的目標可能是不同的。
根據這一討論，我們可以重新考慮過去十年來指導多目標進化演算法(moeas)設計的準則。我們在此提出兩點意見:
1. 大多數moeas的基礎是假設兩個目標是相互矛盾的：（i）為了最小化到ps的距離（ii）為了最大化接近ps的多樣性。然而，近幾年的研究證明這種猜想是有缺陷的，我們都知道對於兩個單獨的目標是沒有正式定義的，乙個是收斂乙個是多樣性都服從於帕累託支配關係的。另外，這個問題也與實際問題相關。
2. 著名的moeas演算法，用基於個體的帕累託排序的形式實現前面的猜想，其中，個體是在目標空間中被額外的密度資訊改善的。然而，不同的演算法的優化目標會有一些沒有被明確定義的不同。這意味著當前的方法在使用偏好資訊方面設計的不夠靈活，相反，它們直接執行的是偏好資訊的個別型別。
研究人員已經解決了將偏好資訊整合到多目標搜尋的問題。例如，fonseca和fleming[8]提出了一種擴充套件的支配關係，該關係整合了預定義的優先順序和目標;然而，上面提到的兩個觀察結果也適用於他們所引入的演算法，類似於在此上下文中使用的許多其他演算法:實現了一種隱含編碼不明確的偏好資訊的多樣性儲存機制。相比之下，knowles[11]提出了一種多目標研究者，可以結合任意一元效能指標，不需要小生境方法。然而，這種方法——取決於使用的效能度量——計算上很昂貴，而且不清楚如何將其擴充套件到基於種群的多目標優化器，從而實現交配和環境選擇。
這篇文章擴充套件了偏好資訊靈活整合的思想，提出了乙個通用的基於指標的演化演算法，ibea。主要思想是：根據支配關係的連續泛化形式化偏好，從而產生乙個簡單的演算法概念。因此，與[8]相比，ibea逼近允許適應任意的偏好資訊和優化場景，而且不需要任何多樣性保護技術。與[11]相比，ibea更一般，因為種群大小可以是任意的而且更快，因為他只比較成對的個體而不是整個近似集。結果表明，該方法能夠顯著提高帕累託集逼近的質量。
二． 緒言
下面我們考慮乙個一般的優化問題。假設決策者的偏好是以乙個二元質量指標的形式給出。通常乙個質量指標是乙個函式用來對映k個ps到真實值的，最常見的是一元質量指標，即k=1。二元質量指標能被用來比較兩個相互關聯的帕累託近似集的質量。例如，二元加法e指標ie+給出了使得另乙個近似集被支配的帕累託集近似需要或者在目標空間的每一維中能被平移的最小距離。定義如下：（圖1解釋）
在這裡我們考慮二元質量指標的原因是他們代表了帕累託支配關係的自然延伸，因此能直接被使用在與一般基於帕累託適應度分配策略相似的適應度計算。然而，乙個要求是需要考慮的指標i符合帕累託支配，定義如下：
定義1：乙個二元質量指標i被定義為支配保留。
稍後我們將看到這些屬性如何確保提出的適應度分配策略也符合帕累託支配。注意到ie+指標是支配保留的：例如，當x1支配x2時，指標值就變為負值。
現在，任意給出乙個優化問題和相應的二元質量指標i，我們可以將優化過程的目標定義為最小化的i（a,s），s是帕累託集。如果i是支配保留的，對a=s，i（a,s）是最小的。注意到這裡我們不需要s是已知的，它只是服務於優化目標的形式。
三． 基於指標的選擇
適應度分配
種**代表乙個簡單的決策空間適應度分配試圖根據他們對優化目標的有用程度來將種群中的個體排序。有很多種方法來利用給出的p和i的資訊，乙個可能是簡單的加上每個個體相對於其他個體的指標值。最大化的適應度值是x1從種群中移除後質量丟失的度量。也可以除以種群大小n，等等。然而，下面我們將採用乙個略微不同的方案來放大支配個體對被支配個體的影響。
我們在這裡使用了乙個支配保留的性質。如果x1支配x2那麼，x1到x2需要移動的最小距離就小於x2到x1需要移動的最小距離。因此，小的指標值對整體適應度的貢獻比大的指標值要大。引數k是取決於i和相關問題的縮放因子，k>0.下面的定理顯示適應度策略符合帕累託支配關係。
定理1：如果二元質量指標i是支配保留的，x1支配x2，f（x1）>f(x2)
例子指標
我們已經看到i如何能被用作給種群成員分配適應度值。然而，其他的支配保留指標也能替換，例如基於超體積概念的ihd指標：
這裡，ih（a）代表目標空間中被a支配的超體積，ihd（a,b）是用來度量對於提前定義的參考點z被b支配而不被a支配的超體積的大小。然而，當近似解包含幾個決策向量時，計算ihd(a,b)的代價是很大的。解釋如圖1右邊。
基礎演算法
在前面適應度分配方案的基礎上，我們提出了乙個更一般基於演化演算法的指標，執行二元錦標賽交配選擇和通過任意移除種群中的最差個體，然後剩下的個體的適應度值。
*演算法1：基於指標的演化演算法
輸入：種群大小a；最大迭代次數n；適應度縮放因子
輸出：a
初始化a,g=0;
適應度分配
環境選擇：
for size(p,1) > a
選擇適應度值最小的個體x*
移除x*
更新剩餘個體的適應度值
end停止條件被滿足時停止
交配選擇：用二進位制錦標賽替換p中的個體，直到臨時交配池被填滿
**結果：四． 提高魯棒性（健壯性）
自適應的ibea
為了應對ihd參考指標確定合適的參考點的問題，我們提出了一種不僅對指標值而且對目標值也進行的自適應縮放，縮放後所有的目標值都在0~1之間。像這樣，我們選擇對種群中每個目標最差的值作為計算ihd的參考點，對所有的目標參考點被設定成1.如果我們使用這種策略，那麼種群中在角落的點就不能被新增到超體積中。為了解決這個問題，對所有的目標，我們設定2為參考點。
*演算法2：自適應ibea
不同:適應度分配：
確定目標函式的上下界
將目標函式值縮放至0~1之間
使用新的目標函式值計算指標值，確定最大的指標值
計算每個個體的適應度函式
環境選擇：
。。。。。。
更新剩餘個體的適應度值*
五． 結論
每個moea的執行都不可避免第假設決策者的偏好，而這些偏好在演算法中很難被編碼。而且每個使用者和應用的偏好是不同的。因此，我們反對了moeas的觀念—根據使用者特殊偏好的設計和評價，形式化效能度量；提出了乙個一般的基於指標的演化演算法（ibea），與現存的基於種群的moeas不同，允許根據任意的效能度量來適應搜尋。對於兩個不同的效能度量，這種方法表現更好。
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