有一類區間問題可以抽象成如下模型。 給定包含 n個數的陣列 a1,a2,⋯an。有兩種操作
查詢區間 [l,r] 最小的數。
修改第 ai為 x。
這裡，為了解決這個問題，我們介紹一種靈活的資料結構——線段樹。
我們用一棵二叉樹來表示線段樹，線段樹中的每個結點都表示乙個區間。每個非葉子結點都有左右兩棵子樹，分別對應區間的 「左半」 和 「右半」。為了方便起見，我們給根結點編號為 1。對於每個結點，其左結點的編號為 2i，其右結點的編號為 2i+1。
對於乙個結點，如果其表示的區間為 [l,r]。分情況如果 l=r，那麼這個是乙個葉子結點。否則令 mid=⌊，左兒子對應的區間為 [l,mid]，右兒子對應的區間為 [mid+1,r]，這一思想有點類似二分。下面就是 n=10 的時候的線段樹。
假定根結點表示長度為 2h 的區間，不難發現，樹的第 i 層有 2i 個結點，每個結點對應乙個長度為 2h-i 的區間。最大層的編號為 h，結點總數為 1+2+4+8+⋯+2h = 2h+1 - 1，略小於區間長度的兩倍。而當整個區間長度不是 2 的整數冪時，雖然葉子結點不在同一層，但樹的最大層編號和結點總數仍滿足上述結論。
前面構建的線段樹，只是展示了線段樹中各結點所對應的區間，但是對於用到線段樹的大部分題目來說，這些線段所擁有的附加資訊才是重頭戲。比如要維護區間最小值問題，我們用乙個額外的陣列minv記錄每個結點對應的區間的最小值。 對於葉子結點，最小值就是乙個數。而對於非葉子結點，區間的最小值就是左兒子的最小值和右兒子最小值中的最小值。
可以發現這個構建過程是乙個遞迴的過程，父節點的資訊需要用子節點去更新，所以我們需要先遞迴的構建好左右子樹。見下面**。
const
int maxn =
10010
;int minv[
4* maxn]
, a[maxn]
;// id 表示結點編號，l, r 表示左右區間
void
build
(int id,
int l,
int r)
int mid =
(l + r)
>>1;
build
(id <<
1, l, mid)
;build
(id <<1|
1, mid +
1, r)
; minv[id]
=min
(minv[id <<1]
, minv[id <<1|
1]);
}
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