上回說到求解線性方程組的一般方法: 高斯消去法. 這一回我們來看一些具體的例子, 把高斯消去法練熟. 記得以前有篇課文叫賣油翁, 講的是乙個賣油的老頭可以從銅錢的孔裡將油倒過去, 而不粘濕錢. 別人都覺得很厲害, 問老頭有什麼訣竅, 老頭說: 無他，唯手熟爾. 學數學也一樣, 所謂熟能生巧, 練的多了自然也就會了. 好了, 不說廢話了, 我們進入正題.
看這個方程組:
\[\left\
&x_1+x_2-3x_4-x_5 = -2\\
&x_1-x_2+2x_3-x_4 = 1\\
&4x_1-2x_2+6x_3+3x_4-4x_5 = 7\\
&2x_1+4x_2-2x_3+4x_4-7x_5 = 1
\end
\right..
\]首先對第一列利用高斯消去法, 得到
\[\left\
&x_1+x_2+0-3x_4-x_5 = -2\\
&0-2x_2+2x_3+2x_4+x_5 = 3\\
&0-6x_2+6x_3+15x_4+0 = 15\\
&0+2x_2-2x_3+10x_4-5x_5 = 5
\end
\right..
\]然後對第二列利用高斯消去法, 得到
\[\left\
&x_1+x_2+0-3x_4-x_5 = -2\\
&0-2x_2+2x_3+2x_4+x_5 = 3\\
&0+0+0+9x_4-3x_5 = 6\\
&0+0+0+12x_4-4x_5 = 8
\end
\right..
\]然後對第三行和第四行分別除以\(3\)和\(4\) (這稱為第二類初等變換), 得到
\[\left\
&x_1+x_2+0-3x_4-x_5 = -2\\
&0-2x_2+2x_3+2x_4+x_5 = 3\\
&0+0+0+3x_4-x_5 = 2\\
&0+0+0+3x_4-x_5 = 2
\end
\right..
\]然後對第四列接著用高斯消去法
\[\left\
&x_1+x_2+0-3x_4-x_5 = -2\\
&0-2x_2+2x_3+2x_4+x_5 = 3\\
&0+0+0+3x_4-x_5 = 2\\
&0+0+0+0+0 = 0
\end
\right..
\]我們得到了乙個冗餘的方程 (最後乙個方程), 可以把它丟棄.
\[\left\
&x_1+x_2+0-3x_4-x_5 = -2\\
&0-2x_2+2x_3+2x_4+x_5 = 3\\
&0+0+0+3x_4-x_5 = 2
\end
\right..
\]然後第二行和第三行分別乘以乙個係數使得不為\(0\)的首項係數為\(1\).
\[\left\
&x_1+x_2+0-3x_4-x_5 = -2\\
&0+x_2-x_3-x_4-\fracx_5 = -\frac\\
&0+0+0+x_4-\fracx_5 = \frac
\end
\right..
\]然後把第三行往上加消去\(x_4\),
\[\left\
&x_1+x_2+0-2x_5 = 0\\
&0+x_2-x_3-\fracx_5 = -\frac\\
&0+0+0+x_4-\fracx_5 = \frac
\end
\right..
\]再把第二行乘以\(-1\)加到第一行,
\[\left\
&x_1+x_3-\fracx_5 = \frac\\
&x_2-x_3-\fracx_5 = -\frac\\
&x_4-\fracx_5 = \frac
\end
\right..
\]這樣就解得
\[\left\
&x_1 = \frac-x_3+\fracx_5\\
&x_2 = -\frac+x_3+\fracx_5\\
&x_4 = \frac+\fracx_5
\end
\right..
\]其中\(x_3,x_5\)是自由變數, 方程組解有無限多個.
如果這個能理解了, 不妨來求解下面的方程組
\[\left\
&\qquad x_2+x_3+x_4 = 3\\
&x_1\qquad+x_3+x_4 = 3\\
&x_1+x_2\qquad+x_4 = 3\\
&x_1+x_2+x_3\qquad = 3
\end
\right..
\]留作練習.
線性方程組
給出乙個線性方程組的標準形式 a11x1 a12x 2 a1nx na21x 1 a22 x2 a2n xnan 1x1 an2x 2 annx n b1 b2 bn 1x 2y 34x 5y 6 1 2 這裡由克萊姆法則進行計算得出xy 3625 14 25 3 5 2 61 5 2 4 3 3 ...
線性方程組
若線性方程組相容，則此方程組有1個或無窮多個解 若線性方程組不相容，則該方程組無解。線性方程組所有解的集合被稱為線性方程組的解集 若線性方程組不相容，則解集為空集。若兩個含有相同變數的方程組具有相同的解集，則稱它們是等價的。有三種運算可以得到等價的方程組 交換任意兩個方程的順序 任一方程兩邊同乘乙個...
線性方程組
給出乙個線性方程組，有 n 個未知數和 m 個方程 a x 1 a x 2 a x n b 1 a x 1 a x 2 a x n b 2 a x 1 a x 2 a x n b m 對於解該線性方程組，首先構造增廣矩陣，按列分塊 a left begin a a a b a a a b a a a...