1.弱對偶定理：
對原問題和對偶問題的任意可行解(x,y)，極小化問題的值大於等於極大化問題的值已知 max z = ctx; min w = byt
且不等式： ax = b ; yta >= ct
所以： z = ctx <= yta x = ytb =w
即： z<=w
得證2.弱對偶的推論：
當極小化問題的解z = 極大化問題的解w時
認為這個值是極小化問題和極大化問題的解（對偶條件下）
假設此刻z表示的是z的目標函式值（最大值）
z = ctx* <= w = ytb （任意y值）
假設此刻 z* = y*tb，即z的最大值等於w的最小值
所以得到y就是最小值，w就是對應的最小值
3.對偶定理：
a.原問題的最優解 x，則對偶問題的最優解為y（表示式見下面）
且原問題和對偶問題的最優值相等
證明：a. y = b-tcb是對偶問題的可行解
b. z = w
a.因為y = b-tcb，則：yt a= b-1cb
ta又因為在原始問題中 x 是最優解，且是最大值，所以 zj-cj>=0
所以： b-1cb
ta - ct >= 0
即： yta >= ct，滿足了對偶問題的要求
所以得證是可行解
b.z = cb
tb-1b
w = ytb = z
所以 z = w
得證
b.原問題有 無界解，則對偶問題 無可行解z -> +∞；又 w>=z
所以：對偶問題無可行解
4.最優解的充分必要條件
已知 x，y 分別是 原問題和對偶問題的可行解
那他們是最優解的充分必要條件
（2）xj = 0 <= ytaj > cj
等價於 xj(ytaj - cj) = 0
證明：1.必要性： 已知最優 ⇒ xj(ytaj - cj) = 0
最優則：z = w
即：ctx = ytb
故：(yta-ct)x = 0
2.充分性：已知xj(ytaj - cj) = 0 ⇒ 最優
由已知，則：(yta-ct)x = 0
即： z = w
則：最優
4 運籌學復刻 之 對偶問題
前面說的單純形法針對從一組可行基解開始迭代，最終得到最優解，下面如果我們如何從不可行解得到最優解呢？我們首先說一說對偶問題 min 對應 構造 max 對應 構造 變數範圍都是 無限max z ctx s.t.ax b x 0 min w ytb s.t.yt a ct y無限制 eg.max z ...
1 運籌學上課覆盤 單純形法
原本自己看了一點運籌學，上課聽老師講了之後又有了一些體會 1.線性的概念 都是一次項，沒有常數項2.運籌學從 法到單純形法的過程 1.法解三維以內的問題 1947之前 2.探知發現，所有的解都是在角點處，列舉法成為解決辦法 3.列舉個數cnm 組合數 太龐大，所以提出新的思路 迭代法，要求每次下一次...
運籌學第一章 線性規劃及單純形法
拖拖拉拉這麼久終於把運籌學第一章複習完了，但是相比於寫部落格，我還是更願意用latex寫學習筆記。這裡就只說一下概況好了。在工作和生活當中，如果我們把一些實際問題歸納為數學問題之後，其目標函式和約束條件都是線性的，則稱這樣的問題為線性規劃問題。線性規劃問題可以化為標準型，化為標準型之後就可以用單純形...