主席樹入門可持久化線段樹

主席樹的發明，源於權值線段樹，所以我們先來看看權值線段樹。

該篇部落格以poj2104為例，逐步詳解。

2104大致題意：n個數，m個詢問。每個詢問會給一組[l,r,k]，求區間(l,r)之間的第k小值。

在上面的例子中，假設我們只涉及乙個區間的修改以及查詢，那麼我們就可以建立乙個權值線段樹。權值線段樹是記錄權值的線段樹。記錄權值指的是，每個節點上存的是區間內的數字出現的總次數。

比如乙個長度為4的陣列[1,2,3,3]的權值線段樹如圖所示：

其中，1和2各出現了一次，3出現了2次，所以權值線段樹的葉子節點記錄的是每個數字出現的次數。若想知道第k小，那麼log(n)的複雜度即可實現，因為線段樹修改以及查詢只涉及該點所在的樹枝。若我想求此例中的第2小，那麼先找樹的根節點為4，表示[1,4]有4個數，繼續查詢左子樹，左孩子的值為2，那麼第二小必在左子樹上，繼續向下查詢。查詢左子樹的右葉子節點即可。這就是乙個區間的查詢方法。

如果查詢某一區間內的呢？我們剛剛舉的例子只能實現從頭開始的區間，並不能實現(l,r)區間內的第k大。類似於求字首和，我們儲存所有的歷史版本，用sum[r]-sum[l-1]。這就是可持續化線段樹。我們可以每輸入乙個a[i]，就構造一棵儲存從a[1]到a[i]的權值線段樹。這樣我們就可以把第j棵樹和第(i-1)棵樹上的權值相減，得到一顆嶄新的權值線段樹，可二分查詢求出(i,j)區間上第k大。看大佬的**時學到了stl的lower_bound函式。

這是一次查詢，涉及到多次查詢時這個方法就會超記憶體。眾所周知線段樹開陣列時要開原陣列的4倍，那麼對於2104，我們對每個區間建立乙個線段樹求解，明顯會超記憶體，這時就出現了主席樹。

在剛剛對每乙個區間建立線段樹的時候我們會發現，每新增乙個新的數，只會對該數所在的節點分支產生影響，即只有log(n)的節點改變了，其他的還是照常不變，這樣就會浪費很多空間，於是我們抹去相同節點，只保留改變了的節點，那麼實際的開銷只有n*(4+logn),滿足空間要求。

仔細觀察2104的資料範圍後，我們如果單單按照數字大小來建樹的話，會浪費很多空間，於是大佬們引入了乙個叫離散化的東西。

有關離散化：大佬說，離散化是一種對映關係。對於2104，我們的方法就是把n個數排序，最小的對映為1，次小的對映為2，以此類推(大佬說還要記得去重)，比如，離散化後的陣列為。

void
discret
(int b)

更新:

void
update
(int l,
int r,
int&x,
int y,
int pos)
if(pos<=mid)
else
}

然後就是2104的ac**

#include
#include
#include
using
namespace std;
const
int maxn =
1e5+5;
struct hjtreetree[maxn*50]
;//root 
int n, m, x, y, k, a[maxn]
, b[maxn]
, root[maxn]
, cnt, res;
intbinary
(int x)
//更新，x為構造的新線段樹，y為上一棵線段樹增加的位置 
void
update
(int l,
int r,
int&x,
int y,
int pos)
if(pos<=mid)
else
}//查詢 
intquery
(int l,
int r,
int x,
int y,
int k)
int c = tree[tree[y]
.l].num - tree[tree[x]
.l].num;
//核心，這句很重要 
int mid =
(l+r)
>>1;
if(c>=k)
else
}void
discret
(int b)
intmain()
//離散化
discret
(b);
for(
int i=
1;i<=n;i++
)for
(int i=
1;i<=m;i++
)return0;
}

題目大意：給定乙個0到ｎ-1的數字組成的序列，然後把第乙個數字放到末尾，得到乙個新的序列，再求反轉數，再把新序列的第乙個數字放到末尾，一直這樣做，求最小逆序數的個數。

思路：

首先用權值線段樹求出當前序列的逆序數對數。然後把第乙個數放到最後乙個，計算貢獻：即當前能組成的逆序數對為後面比它小的數(a[i]個),把它放入最後時，貢獻的逆序數對數為：(n-a[i]+1)即他前面比他小的元素個數。所以最後結果為：n-a[i]+1-a[i]。

#include
using
namespace std;
typedef
long
long
int ll;
const
int n=
5000+10
;struct treenodetree[n*4]
;void
buildtree
(int k,
int l,
int r)
int mid=
(l+r)
>>1;
buildtree
(k<<
1,l,mid)
;buildtree
(k<<1|
1,mid+
1,r);}
void
update
(int k,
int x)
int mid=
(tree[k]
.l+tree[k]
.r)>>1;
if(mid>=x)
update
(k<<
1,x)
;else
update
(k<<1|
1,x)
; tree[k]
.sum=tree[k<<1]
.sum+tree[k<<1|
1].sum;
return;}
intquery
(int k,
int l,
int r)
int mid=
(tree[k]
.l+tree[k]
.r)>>1;
if(mid>=r)
return
query
(k<<
1,l,r)
;else
if(mid
return
query
(k<<1|
1,l,r)
;else
return
query
(k<<
1,l,mid)
+query
(k<<1|
1,mid+
1,r);}
int a[n]
;int
main()
int sum=ans;
for(
int i=
1;i<=n;i++
)printf
("%d\n"
,sum);}
return0;
}

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