分治最大子陣列

問題描述：

給定乙個陣列，從中尋找最大子陣列（最大子陣列：子陣列內元素之和最大）。顯然此問題僅在陣列中包含正負值下才有效，否則，最大子陣列是其本身。

問題分析：

設原陣列為a[0……len-1]，子陣列中任意元素為b[i]。則i-1,i-2,……0,i+1,i+2……len-1，皆有可能是子陣列內元素。因此我們可以將陣列劃分為乙個個單一元素，然後再通過合併確定子陣列的邊界情況。

問題求解：

暴力求解：

遍歷陣列的所有子集情況，最終找到的答案毋庸置疑，但是效能堪憂（n^2）。

分治求解：

先來分析下子陣列的位置情況。

首先將陣列一分為二（中間位置為mid），則子陣列位置不外乎以下三種情況：

毫無疑問，此性質在每次陣列二分之後（劃分為原陣列的一半）仍滿足。

左右兩側情況相較容易處理，但橫跨mid情況比較特殊（無法分解求解）。因此我們可以單獨處理此種情況。既然左右兩側均是子陣列的子集，則我們可以每次從mid開始向左和右遍歷。以向左為例：從mid開始遍歷，設此時最大子陣列為a[mid]。則最大子陣列要麼為a[mid]，要麼為a[mid, mid-1，……mid-i]（i=1, 2, ……，但i不能小於左側邊界）。向右遍歷與此情況相同，但避免mid被重複計算，則應從mid+1開始遍歷。

**示例：

#include
using
namespace std;
#define int -1e7
struct data
; data maxcrossingsubarray
(int
*a,int lo,
int mi,
int hi)
} sum =0;
for(
int i = mi+
1; i <= hi; i++)}
data temp;
temp.lo = left;
temp.hi = right;
temp.sum = leftsum + rightsum;
return temp;
}data maxsubarray
(int
*a,int lo,
int hi)
int mi =
(lo + hi)/2
; left =
maxsubarray
(a, lo, mi)
; right =
maxsubarray
(a, mi+
1, hi)
; cross =
maxcrossingsubarray
(a, lo, mi, hi);if
(left.sum >= right.sum && left.sum >= cross.sum)
return left;
else
if(right.sum >= left.sum && right.sum >= cross.sum)
return right;
else
return cross;
}int
main()
data temp =
maxsubarray
(a,0
, n-1)
; cout << temp.lo <<
" "<< temp.hi <<
" "<< temp.sum;
return0;
}

時間雜度分析：

maxsubarray()函式遞迴呼叫同二分演算法相同，最多經過logn此遞迴到達遞迴基，並且有n個元素需要合併，因此時間複雜度為o(nlogn)。

線性複雜度求解：

若a[0……i]最大子陣列為b，則a[0……i+1]的最大子陣列要麼為b要麼為a[0……i+1]內的任意一段。有了這個思路則可以自左至右遍歷整個陣列，每掃瞄乙個元素則按上述性質比較。

**示例：

#include
using
namespace std;
struct data
; data initdata
(data t,
int n)
data maxsubarray
(int
*a,int len)
}else
}return t;
}int
main()
; data temp =
maxsubarray
(n,8);
cout << temp.lo <<
" "<< temp.hi <<
" "<< temp.sum;
return0;
}

此種演算法只需要遍歷一遍整個陣列便可以求解問題，因此時間複雜度為o(n)。

分治最大子陣列

分治演算法最大子陣列

最大子陣列（分治法）

最大子陣列的分治演算法

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