環形單鏈表的約瑟夫問題

據說著名猶太歷史學家 josephus有過以下的故事：在羅馬人占領喬塔帕特後，39 個猶太人與josephus及他的朋友躲到乙個洞中，39個猶太人決定寧願死也不要被敵人抓到，於是決定了乙個自殺方式，41個人排成乙個圓圈，由第1個人開始報數，每報數到第3人該人就必須自殺，然後再由下乙個重新報數，直到所有人都自殺身亡為止。

然而josephus 和他的朋友並不想遵從。首先從乙個人開始，越過k-2個人（因為第乙個人已經被越過），並殺掉第k個人。接著，再越過k-1個人，並殺掉第k個人。這個過程沿著圓圈一直進行，直到最終只剩下乙個人留下，這個人就可以繼續活著。

問題是，給定了和，一開始要站在什麼地方才能避免被處決？josephus要他的朋友先假裝遵從，他將朋友與自己安排在第16個與第31個位置，於是逃過了這場死亡遊戲。

稍微改一下書中的題意，只求最後活下來的人

鍊錶節點

class
node()
:def
__init__
(self, val)
: self.val = val
self.
next
=none

問題求解

def
josephus
(head, m)
:if head is
none
or head.
next
== head or m <0:
return head
prev, cur =
none
, head
x =0while cur != prev:
if x == m-1:
prev.
next
= cur.
next
x =0else
: x +=
1next
= cur.
next
prev = cur
cur = cur.
next
return cur.val

測試

def
make_cycle_list
(l):
head, tail =
none
,none
for x in l:
node = node(x)
if tail is
none
: head = node
else
: tail.
next
= node
tail = node
tail.
next
= head
return head
deftest_josephus
(n, m)
: l =
for i in
range
(n):
head = make_cycle_list(l)
x = josephus(head, m)
print
(x)

遞迴求解：

n個人（編號[0, n-1]），從0開始迴圈報數，報到m-1被殺，直到剩下乙個，求最終剩下誰

假如n = 1，則肯定剩下編號為0的人即

f(1, m) = 0

n個人，從0報到m-1，

例如，n=6, m= 4, 6個人，報數到3，則第一次被殺的是3 = m-1 = (m-1) % n

序號：0, 1, 2, 3, 4, 5

報數：0, 1, 2, 3

n = 6, m = 9, 6個人，報數到8，第一次被殺的是 2 = (m-1) % n

序號：0, 1, 2, 3, 4, 5

報數：0, 1, 2, 3, 4, 5

報數：6, 7, 8

所以，無論m < n還是m >= n，第一次被殺的都可以表示為k = (m-1) % n

第二輪，還剩下n-1個人，從4開始報數，

序號：0, 1, 2, 3 ,4, 5

報數：0, 1, 2, 3,0, 1

報數：2, 3

而假設原始問題就是n=5, m= 4

序號：0, 1, 2, 3, 4

報數：0, 1, 2, 3

序號對應關係：

4, 5, 0, 1, 2

0, 1, 2, 3, 4

4 = 0+4

5 = 1+4

0 = (2+4) % 6

1 = (3+4) % 6

2 = (4+4) % 6

4,5後面%6 依然成立。

因此 f(4, 4) = (f(5, 4) + m) % n，

這樣我們把問題縮小到乙個更加簡單的問題，

類似地：

f(n, m) = (f(n-1, m) + m) % n

def
get_josephus_live
(n, m)
:if n ==1:
return
0return
(get_josephus_live(n-
1, m)
+ m)
% n

測試：

def
test_josephus2
(n, m)
: x = get_josephus_live(n, m)
;print
(x)if __name__ ==
'__main__'
:print
('5, 6'
) test_josephus(5,
6)test_josephus2(5,
6)print
('------------------------------'
)print
('6, 3'
) test_josephus(6,
3)test_josephus2(6,
3)print
('------------------------------'
)print
('16, 5'
) test_josephus(16,
5)test_josephus2(16,
5)print
('------------------------------'
)print
('6, 15'
) test_josephus(6,
15)test_josephus2(6,
15)print
('------------------------------'
)print
('500, 123'
) test_josephus(
500,
123)
test_josephus2(
500,
123)
print
('------------------------------'
)print
('500, 1234'
) test_josephus(
500,
1234
) test_josephus2(
500,
1234
)print
('------------------------------'
)

➜ 6_josephus python josephus.py5, 633- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- -6,3 00-- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- 16,55 5--- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---6 ,1533 ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- --500, 1237575- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- -500 ,1234 477477-- ---- ---- ---- ---- ---- ----

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