金剛坐飛機問題

題目見程式設計之美4.1

大體是這樣的

如果自己票上寫的座位沒被佔就按照座位坐，被佔了就變身成金剛，隨便找地兒坐。問第i個人坐在自己座位的概率是多少？

1..n一共n個座位，為了方便計算起見，我們做乙個變換

變換1：金剛的票上的座位是最後乙個，也就是第n個，其餘人的票和座位再按照原先的順序排列成1..n-1。

這樣並不影響最終的概率，因為如果

1）金剛坐在自己的位置上，那麼大家同樣都是肯定坐在自己的位置上。

2）如果金剛坐在第i個位置(非他票上的座位)上，那麼前i-1個人會坐在自己的位置上，與變換前相同，而第i個人肯定不會坐在自己的位置上，他會在變換前的金剛的座位再加上i+1..n的集合中隨機挑乙個座位，這也有變換前相同，他挑的座位對於後面人的影響也是與變換前相同的。

設f(i,n)為新的n個座位的排列中第i個人坐到自己位置上的概率，那麼舊排列中第i個人坐到自己位置的概率就是

f(i,n) if(i-1,n) i>j;

j為金剛票上的座位

那麼我們現在來計算f(i,n)，後面的討論全部基於變換後的排列。

對於乘客i，金剛的選擇會造成3種情況，假設金剛選擇的是j，分別為ij，概率分別為(n-i)/n，1/n，(i-1)/n。

如果i如果i=j，概率為0

如果i>j，那麼前j-1個人肯定坐在自己的位置上，而第j個人就變身成了金剛，這樣可以看做他就是金剛，他原來的座位就是n。

變換2：前j-1個人是打醬油的，跟後面的事件無關了，因為金剛在j上，所以第j個人變成了金剛2，他的票號是最後乙個，j+1..n-1號乘客成了新的受害者，將j+1..n-1從1開始重新編號，座位數變成n-j

故第i個人坐在原來座位的概率為f(i-j,n-j)

所以概率為綜上有

最後的結果是

f(i,n) if(i-1,n) i>j;

j為金剛票上的座位