蒟蒻的ACM演算法 三 線性基

常見題目

二.小a與星際探索

即使線性代數課結束,依然逃不過線性代數

線性基,類似於線代裡面的矩陣求最大線性無關組.

看一下大佬的說法:鏘鏘,傳送門%%%%

首先來看乙個問題： 給出n個數,要從中選出乙個最大的子集,使得子集中的任意個元素異或值不為0.

這個和極大線性無關組有些類似。異或可以看出是模2域下的加法運算,如果把乙個數轉化為二進位制,對應成乙個由01構成的向量,

所有這些向量就構成了乙個線性空間。 原問題就轉化為求這個向量組的極大線性無關組,把這樣乙個極大線性無關組成為線性基。

可以用o(6060n)的高斯消元來解決。 但是還有更加快速的構造線性基的方法： 複雜度是o(60*n)

又有xor是在(0,1)為基底的空間裡的運算.所以我們要把n多個數,解成二進位制.舉個栗子:

我們有集合=他們相互異或可以得到值域.但是這4個數,太大了誇張一下.我們就要想辦法縮小x得到集合.

於是,我們把這四個數寫成矩陣,就成了矩陣a.

.我們考慮把這個變成上三角形,那麼可以r3-r2+r4,然後r3和r4互換.

就可以得到乙個行階梯型的矩陣.

於是集合->=.嗯,沒錯,就是我們要求得的線性基.當然,我們也可以處理掉10,保留9

如果計算一下的話,會發現,得到的值域是相同的.於是,我們就可以稱為線性基.

由圖3,很明顯我們知道了乙個求線性基的方法,是高斯消元.但是太麻煩,繁瑣,耗時.常用的是另一種.

一句話介紹就是:

將x轉換為二進位制,從高位向低位掃,如果第乙個1是第p位,如果k_p=0,就令k_p=x;如果k_p!=0,就令xxork_p後,重複上述階段.

for

(int i = bit ; i >=
0; i--
)//bit是二進位制的位數,常見題目大多為62.if(
1<< i & num )if(
!base[i]
)else num ^
= base[i]
;

for

(int i =
62; i >=
0; i--
) ans =
max(ans, ans^p[i]
);

for

(int i =
62; i >=
0; i--
) ans =
min(ans, ans^p[i]
);

題目描述

給定n個整數（數字可能重複），求在這些數中選取任意個，使得他們的異或和最大。

輸入輸出格式

輸入格式:

第一行乙個數n，表示元素個數

接下來一行n個數

輸出格式：

僅一行，表示答案。

輸入輸出樣例

**輸入樣例#1： **

21 1

**輸出樣例#1： **1說明

1≤n≤50,0≤si≤250 解析

模板題目

#include

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#ifndef null
#define null 0
#endif
using
namespace std;
typedef
long
long ll;
const
int maxn =
1e5+10;
ll a[maxn]
, p[maxn]
, dp[maxn]
;int
main()
else
a[i]
^= p[j]
;for
(int i =
62; i >=
0; i--
) ans =
max(ans, ans^p[i]);
cout << ans << endl;
return0;
}

輸入描述:

第一行乙個整數n，表示星球數

接下來一行有n個整數，第i個整數表示pi

輸出描述:

乙個整數表示到達n號星球時最大的耐久度

若不能到達n號星球或到達時的最大耐久度為0則輸出−1

示例輸入

3457 456 23

輸出

478說明

小a有兩種方法到達3號星球

第一種：1→2→3，最終耐久度為457⊕456⊕23=22

第二種：1→3，最終耐久度為457⊕23=478

輸入

42 4 4 2

輸出

-1輸入

5234 233 123 2333 23

輸出

253備註:1⩽n,∀pi⩽3000解析

求從p1到pn的異或和最大值,套板子…然後注意的是pi到pj的話需要pi>pj.所以不符合的數直接扔掉就可以了.

最後再判斷一下p1和pn之間的大小關係就好了.

#include

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#ifndef null
#define null 0
#endif
using
namespace std;
typedef
long
long ll;
const
int maxn =
1e5+10;
int a[maxn]
, p[maxn]
;int
main()
else
p[i]
^= a[j]
;int ans = p[0]
^ p[n -1]
;for
(int i =
12; i >=
0; i--
) ans =
max(ans, ans^a[i]);
cout <<
(p[0
]>p[n-1]
?ans:-1
)<< endl;
return0;
}

蒟蒻的學習記錄第三週

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