我們先來思考乙個小問題：
納什均衡
納什均衡（nash equilibrium）由美國數學家納什提出，在多人博弈的時候，如果其他人不改變策略，不論我怎麼改變也不能增加收益，所有人都是這樣，也就達到了納什均衡。換句話說，納什均衡實現了整體利益的最大化。
想要達到納什均衡，找到整體最優的方案，最重要的一點就是共享資訊。
我們拿出最為著名的囚徒困境舉例：
警察抓了兩個嫌疑犯，在他們沒有事先串列埠供的情況下，分開審問。如果兩個罪犯都沉默，各判1年；互相揭發，各判8年；如果乙個揭發乙個沉默，那麼揭發的那個釋放，沉默的那個判10年。ab怎麼選擇才對自己最有利？
如果審問並不是分開進行，而是二人一起，結果又會如何呢？
開始時a，b兩人互不吭聲，馬上，在明確了對方暫未交待的情況下，a有兩種選擇：
揭發b，如果沉默b會被判10年，所以b也會揭發a，結果兩人都判8年；
保持沉默，這時b如果揭發a，會形成1裡的結果，所以b應該選擇更好的方案，也就是同樣保持沉默。這樣一來，兩人各判1年。
稍作思考，a選擇了沉默，b當然也做出同樣的分析。最後兩人只被各判1年，整體的納什均衡達成。
由此可見，納什均衡的達成需要足夠的資訊，如果資訊不足，人往往就會做出損人利己的次優選擇，而錯過利於大局的最優方案。
近期中美**戰囚徒困境分析：
兩個國家，在關稅上可以有以兩個選擇:
提高關稅，以保護自己的商品。（背叛）
與對方達成關稅協定，降低關稅以利各自商品流通。（合作）
當一國因某些因素不遵守關稅協定，獨自提高關稅（背叛），另一國也會作出同樣反應（亦背叛），這就引發了關稅戰，兩國的商品失去了對方的市場，對本身經濟也造成損害（共同背叛的結果）。然後二國又重新達成關稅協定（重複博弈的結果是將發現共同合作利益最大）。
多階資訊
我們已經知道，掌握更多資訊才能知己知彼，百戰不殆，但不是所有資訊都那麼直白，有時候看似無用的資訊背後還有我們需要的東西。
第一把我和hulk都出了剪刀，這是我知道的第一條資訊，好像沒有什麼卵用；
然後呢？根據規則，我知道下把我只能出錘子或者布，這是其二；
同樣，我知道hulk下一把也只能出錘子或者布，這是第三條。
由於我和hulk都只能出錘子或者布，出哪乙個更好呢？答案是絕對的，布贏錘子，出布！終於理順了，但這還不是最終答案。
同樣地，hulk也想到了這一點。按理來說，下一把我和hulk都應該出布。聰明的我倆在出完剪刀之後就立即推理出了這一點。
現在，我知道hulk得到了這個結論，hulk也知道我得到了相同的結論。更進一步，我也知道hulk知道我得到了這一結論。之後，我們就像兩台執行著一模一樣程式的超級電腦，陷入了一種「知道」的迴圈，那就是我知道hulk知道我知道…hulk知道下一把我倆都應該出布，這是橫向推理。
豎向推理，我可以推出第三把我們都應該出石頭（hulk也會這樣推理，他也知道我知道），第四把出剪刀，第五把出布，第六把石頭…
好了！既然這樣，遊戲的整個走勢在第一把出完剪刀之後就已經完全確定了，不僅因為我倆各自推出了結論，還因為我們知道對方也知道了這個結論。
所以誰也不能獲勝，第一把是平局的話遊戲就沒有進行的必要了，聰明的我倆壓根不會進行第二輪划拳。這個決定，僅憑前三條資訊是得不出來的，也就是說，我知道這些還不夠，我還得知道「他知道」。
在這個小問題裡，前三條資訊我們看作是一階資訊（我直接知道的事），而「我知道hulk知道***」，是乙個二階資訊。以此類推，「我知道他知道我知道***」是三階資訊，但是遊戲一共只有兩人參加，所以大於二階的資訊和二階是等效的。
當然，你也可以試著分析不同情況下，囚徒困境裡的資訊階數。
共識
如果你已經完全理解了多階資訊的意思，那我們就可以開始最後乙個問題的推理了（難）。
藍眼人問題：
有乙個島上住著1000個島民。其中900個是紅眼，100個是藍眼。島上的人無法知道自己眼睛的顏色，也不准談論眼睛的顏色。出於宗教原因，島民一旦知道自己眼睛的顏色，就會在第二天自殺。一天，島上來了乙個藍眼睛遊客，由於不知道島上的規矩，他在一次全島民的聚會中說：「很高興看到這裡有和我一樣是藍眼睛的人。「
假設島民足夠聰明, 具有完全理性，遊客的話會產生什麼後果？
好了，你已經知道答案了
有了前面的基礎，我們直接跳到邏輯裡去。
假如我是其中乙個藍眼人1號，通過互相觀察，我可以知道2號是藍眼，2號也可以知道3號是，3號知道4號…這些是一階資訊；接著我也知道2號知道3號是藍眼，這是二階；一直往後，我能知道2號知道3號知道…知道100號是藍眼，這是99階資訊。
怎麼少了一階？因為「100號知道我是藍眼「是我無法確定的事，畢竟我不知道自己眼睛的顏色。但是我能肯定其他99個人都能看到至少98個藍眼人，只是他們暫時不知道自己也是藍眼人。
這時推理就開始了。
假如島上只有1個藍眼人（與事實不符），遊客說完話之後他也就知道了自己眼睛的顏色，那麼他會在之後一天自殺，自殺由一階資訊導致。
如果有2個（與事實不符），一天後他們會觀察對方是否自殺，如果對方自殺，那麼他是唯一的藍眼人，理由同上；如果不是，說明對方還看到了乙個我沒看到的藍眼人，那這個藍眼人只可能是我自己！於是「我知道了他知道我是藍眼人「這個二階資訊，兩人可以做出同樣的推理，於是第二天兩人一起自殺。
我殺我自己 。我們用的是藍眼~ credit： b站up主 薛定餓了嗎
如果有99個藍眼人（與我看到的相符），99天後還是無事發生，這時我獲得了乙個一百階資訊，那就是「2號知道3號知道…知道100號知道我（1號）是藍眼人「！其他99人可以做出同樣的推理，這時100個藍眼人都確定了自己眼睛的顏色，於是在第100天一起自殺，這也就是問題的答案。
到這裡，我們終於做完了所有的思考題，興奮之餘，我們把不同階數的資訊做乙個分類。
如果有 n 個人，每個人都知道的 n 階資訊被叫做 common knowledge（袁嵐峰博士譯作強共識），少於 n 階的資訊被叫做 mutual knowledge，譯作弱共識。
在藍眼人問題裡，遊客說話之前，「島上有藍眼人「在100個藍眼人圈子裡還是乙個弱共識，只有99階，即大家都知道，但不確定別人知不知道自己；遊客說話之後第99天，這句話變成了強共識，這時大家都知道所有人的眼睛顏色。所以遊客帶來的資訊是乙個99天後才能獲得的，高達100階的資訊。
帽子問題
有一群人圍坐在一起，為了便於分析，假定只有4人（這與人數多少無關，可作同樣分析）。每個人頭戴一頂帽子，帽子為紅色的還是白色的紅色和白色兩種，每個人看不到自己帽子的顏色，但能看到別人帽子的顏色。因此此時他不能判定出自己頭上的帽子的顏色。
為了分析的方便，我們假定這4個人均戴的是紅色的帽子。這時候，乙個局外人來到他們的群體當中，對他們說：「你們其中至少一位頭戴的是紅色的帽子。」當他說了這句話後，他問：「你們知道你們頭上的帽子的顏色嗎？」4個人都說「不知道」；這個局外人第二次問：「你們知道你們頭上的帽子的顏色嗎？」4個人又都說「不知道」。局外人第三次問：「你們知道你們頭上的帽子的顏色嗎？」4個人又說「不知道」。局外人又問第四次：「你們知道你們頭上的帽子的顏色嗎？」這時4個人均說：「知道了！」
你能知道為什麼嗎？
當局外人未宣布「至少乙個人戴的是紅帽子」時，這個事實其實每個人都知道了，因為每個人看到其他3個人的帽子都是紅色的，但每個人不知道其他人是否知道這個事實，即這個事實沒有成為公共知識。而當這個局外人宣布了之後，「至少乙個人帽子是紅色的」便成了公共知識。此時不僅每個人知道「至少乙個人的帽子是紅色的」，每個人還知道其他人知道他知道這個事實……
局外人第一次問時，由於每個人面對的其他3個人都是紅色的帽子，每個人當然不能肯定自己頭上的帽子是什麼顏色，於是均回答「不知道」。此時，如果只有1個人戴紅色的帽子，那麼這個人因面對3個戴白色的帽子，他肯定知道自己的帽子顏色。因此，當4個人均回答「不知道」時意味著「至少有2人戴的是紅色的帽子」，而且這也是公共知識。
當局外人第二次問時，如果只有2人戴的是紅色的帽子，這2人就會回答說「知道」——因為他們各自面對的是1個戴紅色帽子的人。由於每個人面對的是不止乙個戴紅色帽子的人，因此當局外人第二次問時，他們只能回答「不知道」。——此時的「不知道」，意味著「至少3個人戴紅色的帽子」，並且它成為公共知識。
同樣，局外人第三次問時，他們均回答「不知道」，意味著4個人均戴的是紅色的帽子。因此，當局外人第四次問時，他們就知道宣布每個人頭上均戴的是紅色的帽子，於是，他們回答「知道」。
在這個過程中，當局外人首先宣布「其中至少乙個人的帽子是紅色的」，以及第
二、第三、第四次回答的時候，無論是回答「知道」還是「不知道」——它們構成公共知識——構成所有人推理的前提，在這個過程中，每個人均在推理。
這就是「帽子的顏色問題」。本人將這個問題簡化了。原來的問題比較複雜。它是這樣的：
有乙個遊戲，有乙個主持人和一群人（假定有n人），戴了兩種顏色的帽子，每個人的帽子的顏色或者是紅色或者是白色，但每個人不能看到自己的帽子的顏色卻看得到其他人的帽子的顏色。遊戲的主持人說：「你們中至少乙個人的帽子是紅色的。」主持人開始一次次地問：「你們知道不知道自己的帽子的顏色？」現在的問題是：當主持人問到第幾次時，才有人說「知道」？並且多少人說「知道」？
據說，這個問題在20世紀曾風靡歐美。
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