【 在 kaoyan (a u ready?) 的大作中提到: 】
: 是99年試題
: a是乙個二階方陣，試證：如果有矩陣b使得ab-ba=a,則a^2=0
發信人: researchmonk (蟄伏中...), 信區: kaoyan
標 題: re: [cs]乙個線代的問題
發信站: 北大未名站 (2023年01月05日09:47:01 星期天), 站內信件
證：左乘a a^2*b-a*b*a = a^2
右乘a a*b*a-b*a^2 = a^2
相加：a^2*b - b*a^2 = a^2
所以：tr(a) = tr(ab-ba) = 0
tr(a^2) = tr(a^2*b-b*a^2) = 0
a^2的特徵值是a的特徵值的平方
特徵值的和等於跡
因此，a的特徵值為0 (西格馬的每一項都是平方的形式)
所以存在x可逆 a = x^(-1) * j * x j為a的若當標準型，j的對角線元素為0
所以 a^2 = x^(-1) * j^2 * x
如果a是n階，那麼，j^n = 0
可以推出 a^n = x^(-1) * j^n * x = x^(-1) * 0 * x = 0
特別的, n = 2 ,有， a^2 = 0
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