離散數學 第二章 謂詞邏輯 2 2 命題函式與量詞

2021-09-06 00:27:45 字數 3203 閱讀 5928

為了說明命題函式的概念,下面先舉例解釋命題與謂詞的關係。

設h是謂詞「能夠到達山頂」,l表示客體名稱李四,t表示老虎,c表示汽車,那麼h(l)

,h(t),h(c)等分別表示各個不同的命題,但他們有乙個共同的形式,即h(x)。

當x分別取l,t,c時就表示「李四能夠到達山頂」,「老虎能夠到達山頂」,「汽車能

夠到達山頂」。

同理,若l(x,y)表示「x小於y」,那麼l(2,3)表示了乙個真命題:「2小於3」。

而l(5,1)表示假命題:「5小於1」。

又如a(x,y,z)表示了真命題「3+2= 5」

,而a(1,2,4)表示了乙個假命題「1+

2= 4」

。 從上述三個例子中可以看到h(x),l(x,y),a(x,y,z)本身不是乙個命題,只

有當變元x,y,z等取特定的客體時,才確定了乙個命題。

定義2-2·1 由乙個謂詞,一些客體變元組成的表示式稱為簡單命題函式。

根據這個定義可以看到,n元謂詞就是有n個客體變元的命題函式,當n=0時,稱為0元

謂詞,它本身就是乙個命題,故命題是n元謂詞的乙個特殊情況。

由乙個或n個簡單命題函式以及邏輯聯結詞組合而成的表示式稱復合命題函式。

邏輯聯結詞┓,∧,∨,→,

«,的意義與命題演算中的解釋完全類同。

例1 設s(x)表示「x學習很好」,用w(x)表示「x工作很好」。則┓s(x)表示「

x學習不是很好」。s(x)∧w(x)表示「x的工作,學習都很好」。s(x)→w(x)

表示「若x的學習很好,則x工作得很好」。

例2 用h(x,y)表示「x比y長得高」。設l表示李四,c表示張三。

則┓h(l,c)表示「李四不比張三長得高」。┓h(l,c)∧h(c,l)表示「李四

不比張三長得高」且「張三不比李四長得高」即「張三與李四同樣高」。

例3 設q(x,y)表示「x比y重」,當x,y指人或物時,它是乙個命題,但若x,y指

實數時,q(x,y)就不是乙個命題。

命題函式不是乙個命題,只有客體變元取特定名稱時,才能成為乙個命題。但是客體

變元在哪些範圍內取特定的植,對是否成為命題及命題的真值極有影響。

例4 r(x)表示「x是大學生」,如果x的討論範圍為某大學裡班級中的學生,則r(x)

是永真式。

如果x的討論範圍為某中學裡班級中的學生,則r(x)是永假式。

如果x的討論範圍為乙個劇場中的觀眾,觀眾中有大學生也有非大學生,那麼,對某些

觀眾,r(x)為真,對另一些觀眾,r(x)為假。

例5 (p(x,y)∧p(y,z))→p(x,z)

若p(x,y)解釋為「x小於y」,當x,y,z都在實數域中取值,則這個式子表示為:

「若x小於y且y小於z,則x小於y」。這是乙個永真式。

如果p(x,y)解釋為「x為y的兒子」,當x,y,z都指人,則「若x為y的兒子且y是

z的兒子則x是z的兒子」。這個式子表達的是乙個永假公式。

如果p(x,y)解釋為「x距離y 10公尺

」,若x

,y,z表示地面上的房子,那麼「x距

離y 10公尺

且y距離z 10公尺

則x距離z 10公尺

」。這個命題的真值將由x

,y,z的具體

位置而定,它可能為t,也可能為f。

從上述兩例可以看到,命題函式確定為命題,與客體變元的論述範圍有關。在命題函

數中,客體變元的論述範圍稱作個體域。個體域可以是有限的,也可以是無限的,把

各種個體域綜合在一起作為論述範圍的域稱全總個體域。

使用上面所講的一些概念,還不能用符號很好的表達日常生活中的各種命題。例如:

s(x)表示x是大學生,而x的個體域為某單位的職工。那麼s(x)可以表示某單位

職工都是大學生,也可以表示某單位存在一些職工是大學生。為了避免這種理解上的

混亂,因此需要引入量詞,以刻劃「所有的」和「存在一些」的不同概念。

例如(a)所有的人都是要呼吸的。

(b)每個學生都要參加考試。

(c)任何整數或是正的或是負的。

這三個例子都需要表示「對所有的x」這樣的概念,為此,引入符號(∨x)或(x),

表示「對所有的x」。

若設m(x):x是人,h(x):x要呼吸。 p

(x):x是學生,q(x):x要參加考試。 i

(x):x是整數,r(x):x是正數,n(x):x是負數。

則上述三例就記為:

(a)(∨x)(m(x)→h(x))

(b)(∨x)(p(x)→q(x))

(c)(∨x)(i(x)→(r(x)∨n(x)))

符號「∨x」稱為全稱量詞,用來表示「對所有的」「每乙個」「對任何乙個」等。

另外還有一類量詞記作(ヨx),表示「存在一些x」。

例如 (a)存在乙個數是質數。

(b)一些人是聰明的。

(c)有些人早飯吃麵包。

設p(x):x是質數。 m

(x):x是人。 r

(x):x是聰明的。 e

(x):x早飯吃麵包。

則上述三例可表示為:

(a)(ヨx)(p(x))

(b)(ヨx)(m(x)∧r(x))

(c)(ヨx)(m(x)∧e(x))

符號「ヨ」稱為存在量詞,可用來表達「存在一些」「至少有乙個」「對於一些」等。

全稱量詞與存在量詞統稱為量詞,在上述有關量詞的例子中可以看出,每個由量詞確定

的表示式,都與個體域有關。例如:(∨x)(m(x)→h(x))表示所有的人都要呼吸

,如果把個體域限制在「人類」這個範圍內,那麼亦可簡單地表示為(∨x)(h(x))

。在這個例子中指定論域,不僅與表達形式有關,而且不同的指定論域會有不同的問題真

值。如設論域為「人類」則這個命題的真值為t,如果論域為自然數,則命題的真值為f。

為此,在討論帶有量詞的命題函式時,必須確定其個體域。為了方便,我們將所有命題函

數的個體域全部統一,使用全總個體域。用了這個全總個體域後,對每乙個客體變元的變

化範圍,用特性謂詞加以限制。一般地,對全稱量詞,此特性謂詞常作蘊含的前件,對存

在量詞,此特性謂詞常作合取項。例如:在全總個體域中(∨x)(h(x))可寫成(∨x)

(m(x)→h(x)),其中m(x)為h(x)的特性謂詞。對(ヨx)(h(x))可寫成

(ヨx)(m(x)∧h(x)),特性謂詞m(x)限定了h(x)中變元的範圍。

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