我們之前講解了堆(heap)的概念。堆是乙個優先佇列。每次從堆中取出的元素都是堆中優先順序最高的元素。
在之前的文章中，我們基於完全二叉樹(complete binary tree)實現了堆，這樣的堆叫做二叉堆(binary heap)。binary heap有乙個基本要求: 每個節點的優先順序大於兩個子節點的優先順序。在這一要求下，堆的根節點始終是堆的元素中優先順序最高的元素。此外，我們實現了delete_min()操作，從堆中取出元素；insert()操作，向堆中插入元素。
現在，我們考慮下面的問題: 如何合併(merge)兩個堆呢？ 乙個方案是從第乙個堆中不斷取出乙個元素，並插入到第二個堆中。這樣，我們需要量級為n的操作。我們下面要實現更有效率的合併。
左傾堆基於二叉樹
(binary tree)。左傾堆的節點滿足堆的基本要求，即(要求1)每個節點的優先順序大於子節點的優先順序。與二叉堆
不同，左傾堆並不是完全二叉樹。二叉堆是非常平衡的樹結構，它的每一層都被填滿(除了最下面一層)。左傾堆則是維持一種不平衡的結構: 它的左子樹節點往往比右子樹有更多的節點。
不平衡
左傾堆的每個節點有乙個附加資訊，即null path length (npl)。npl是從乙個節點到乙個最近的不滿節點的路徑長度(不滿節點:兩個子節點至少有乙個為null)。乙個葉節點的npl為0，乙個null節點的npl為-1。
各個節點的npl (這裡顯示的不是元素值)
根據npl的定義，我們有推論1: 乙個節點的npl等於子節點npl中最小值加1: npl(node) = min(npl(lchild), npl(rchild)) + 1
有了npl的概念，我們可以完整的定義左傾堆。左傾堆是乙個符合下面要求的二叉樹:
從上面的要求1和2可以知道，左傾堆的任意子樹也是乙個左傾堆。
由於左傾堆的特徵，左傾堆的右側路徑(right path)
較短。右側路徑是指我們從根節點開始，不斷前往右子節點所構成的路徑。對於乙個左傾堆來說，右側路徑上節點數不大於任意其他路徑上的節點數，否則，將違反左傾堆的要求2。
我們還可以證明推論2，如果乙個左傾堆的右側路徑上有r個節點，那麼該左傾堆將至少有2r-1個節點。我們採用歸納法證明:
因此，對於r+1，整個左傾堆至少有2r+1-1個節點。證明完成
換句話說，乙個n節點的的左傾堆，它的右側路徑最多有log(n+1)個節點。如果對右側路徑進行操作，其複雜度將是log(n)量級。
我們將沿著右側路徑進行左傾堆的合併操作。合併採用遞迴。合併如下:
(base case) 如果乙個空左傾堆與乙個非空左傾堆合併，返回非空左傾堆
如果兩個左傾堆都非空，那麼比較兩個根節點。取較小的根節點為新的根節點(滿足要求1)，合併較小根節點堆的右子堆與較大根節點堆。
如果右子堆npl > 左子堆npl，互換右子堆與左子堆。
更新根節點的npl = 右子堆npl + 1
上面的合併演算法呼叫了合併操作自身，所以是遞迴。由於我們沿著右側路徑遞迴，所以複雜度是log(n)量級。
上面可以看到，左傾堆可以相對高效的實現合併(merge)操作。
其他的堆操作，比如insert, delete_min都可以在merge基礎上實現：
/*左傾堆利用不平衡的節點分布，讓右側路徑保持比較短的狀態，從而提高合併的效率。by vamei
*//*
* leftist heap
* bassed on binary tree */
#include
#include
typedef
struct node *position;
typedef
intelementtp;
struct
node ;
typedef
struct node *lheap;
lheap insert(elementtp, lheap);
elementtp find_min(lheap);
lheap delete_min(lheap);
lheap merge(lheap, lheap);
static
lheap merge1(lheap, lheap);
static
lheap swap_children(lheap);
int main(void)/*
* insert:
* merge a single-node leftist heap with a leftist heap
* */
lheap insert(elementtp value, lheap h)
/** find_min:
* return root value in the tree
* */
elementtp find_min(lheap h)
/** delete_min:
* remove root, then merge two subheaps
* */
lheap delete_min(lheap h)
/** merge two leftist heaps
* */
lheap merge(lheap h1, lheap h2)
else}//
h1->element < h2->element
static
lheap merge1(lheap h1, lheap h2)
else
h1->npl = h1->rchild->npl + 1; //
update npl
}
return
h1;}
//swap: keep leftist property
static
lheap swap_children(lheap h)
在合併過程，通過左右互換，來恢復左傾堆的性質。
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