sicp 習題 1.35要求我們證明**切割率φ 是變換函式 x => 1+ 1/x 的不動點，然後利用這一事實通過過程fixed-point 計算出φ的值。
首先是有關函式的不動點，這個概念須要理解清晰，後面好幾道題都是環繞函式不動點展開的。作者在這裡設計這些習題的原因也是希望讀者能夠關注函式不動點。
事實上有關不動點這個東西我在做習題「1.8」的時候就認為好奇了。為什麼「（x+x/y)/2」會不斷逼近x的平方根呢？又為什麼「(x/y2+2y)/3」會不斷逼近x的立方根呢？
當時僅僅顧著做題，就沒有深入去考慮，經過1.35開始的幾道題才開始對函式的不動點有了一些理解，反過來就認為習題「1.8」裡提到的逼近x的立方根的方法比較easy理解了。
要完成這裡的幾道習題，大家首先須要讀完書中的1.3.3這一節，裡面有函式不動點的描寫敘述。事實上，1.3.3節中的內容是想說明過程（或者說函式）能夠被看作一般性的方法，對過程的通性進行討論。僅僅是，作者可能認為用函式不動點這個例子能夠非常好地展示過程的通性，所以使用了函式不動點作為例子。對於函式的不動點，我們能夠無論過程的內在實現，而在過程外部通過乙個一般性的方法求得這些過程的不動點。當然，不是全部函式都有不動點，所以這種方法並非對全部函式生效的。
那麼，更進一步須要了解的就是：什麼是函式的不動點？
書中是這樣描寫敘述的：
假設有x滿足f(x)=x，那麼x就稱之為函式f()的不動點。
聽起來有點抽象，不太好理解，假設我們用以下的例子可能就比較easy理解了。
我們假設眼下流行的南韓整容技術是乙個函式，叫「整容（）」，那麼我們非常easy理解以下的等式：
整容（醜女）= 美女
就是乙個醜女送進手術室，通過「整容」函式的處理，輸出的是乙個美女。
可是，事實上的整容沒有那麼easy，須要一點一點去整，所以我們的函式應該像以下這樣：
整容（醜女）= 美一點的醜女
假設我們把「美一點的醜女」送去整容，會有：
整容（美一點的醜女）= 更美一點的醜女
於是乎，假設我們有函式：
整容（整容（整容 ......（整容（整容（整容（整容（醜女）））））））
那麼結果就應該非常接近美女了。
最終，假設我們把美女送去整容，出來的還是美女，就是說
整容（美女）= 美女
這個時候就是f(x)=x的時候了，就是說「美女」就是函式「整容」的不動點！
這樣你應該能夠理解什麼是函式的不動點了吧？
理解了函式的不動點，我們再來看看怎樣求出乙個函式的不動點。還是用整容的例子，方法比較簡單粗暴，就是把隨便乙個人送去整容，進去之前和送出來後都拍個**，假設兩張**相差比較大，就說明這個人整容的空間還比較大，弄進去再整，直到進去之前和出來之後看不出什麼區別了，那麼這個結果就是「整容」函式的不動點了！
假設說「全智賢」是南韓整容界公認的典型美女的話，你隨便抓乙個人，無論性別，送去給南韓整容醫生不斷整容，最後出來的都長成「全智賢」那樣。
我們就得出了「南韓整容」函式的不動點，那就是「全智賢」！
進一步考察的話，你會發現這個尋找函式不動點的方法和函式本身沒太大關係，「整容」的函式能夠用這種方法，「健身」的函式也一樣，「server調優」的函式也一樣，基本思路就是不斷反覆呼叫這個函式，直到這個函式對目標不再起作用為止。
這樣就能夠理解書中的fixed-point函式了：
(define tolerance 0.00001)
(define (fixed-point f first-guess)
(define (close-enough? v1 v2)
(< (abs (- v1 v2 )) tolerance))
(define (try guess)
(let (( next (f guess)))
(if (close-enough? guess next)
next
(try next))))
(try first-guess))
fixed-point函式的作用就是用first-guess作為初始材料，不斷呼叫函式f對它進行加工，直到f函式的輸入值和輸出值close-enough為止。
這時候回過來考察1.1.7章的求平方根的函式就有清晰的思路了。
書中提到，假設我們希望求乙個數x的平方根，就是要求乙個y，使得y^2 = x，由y^2=x推導出乙個等式y=x/y，所以我們要求的是變換x => x/y的不動點。
這種描寫敘述方式對數學高手們是如此簡單，僅僅是對於我等數學白痴來講還是不好理解。
我對於求平方根的方法的理解過程是這種。
首先我們把問題簡化一下，求x的平方根變為求乙個已知數的平方根，比方求10的平方根。
這種話我們要求的事實上是乙個x，使x * x =10。
或者說是求x1 * x2= 10，同一時候x1= x2。
假設要讓x1 * x2=10的條件滿足，那麼就有x1 = 10 / x2，這個簡單的數學轉換就好理解了吧。
接著，假設我們設計乙個函式f(x)是這種 f(x) = 10/x，上面的等式就能夠寫成以下這樣：
x1 = 10 / x2 = f (x2)
也就是 x1 = f (x2)
假設我們找到了函式f(x)的不動點，就有f(x)= x，就是有：
x1=f(x2) = x2
這時候就是x1=x2的時候了。
恭喜一下你自己吧！你找到求10得平方根的方法了！
僅僅是。。。。。可惜的是，就像書中說的，變換x => 10/ x並不收斂！
簡單說就是函式f(x)= 10/x沒有不動點！
假設上面這些x1，x2不正確你胃口，你還是不理解的話，想象一下以下的場景：
假設你是乙個整容醫生，須要對人的眼睛進行整容，而高手告訴你的秘訣是兩個眼睛長度的乘積等於10的時候就是最漂亮的一雙眼睛，你會怎麼做呢？
首先你有個常識，就是左右眼要一樣大才行，不然整成大小眼了。當今你要做的就是按高手的秘籍整，直到兩個眼睛一樣大為止。
好，我們這些笨整容醫師們，開始手術啦！
有個人來了，量量他的左眼，嘻嘻，左眼長度2cm！啊，多麼小的眼睛呀。
那麼，按秘籍算一算右眼應該是多大呢？10/2=5！右眼5cm就好了！
手術過後看看完了！大小眼！左眼2cm，右眼5cm。
這不行，把左眼搞成跟右眼一樣吧，也是5cm！
再按秘籍算一算右眼應該是多長？左眼5cm，10/5=2，右眼2cm就好了！
手術過後再看！還是大小眼！左眼5cm，右眼2cm。
繼續整！
哈！沒完沒了了！人給你整殘了你也做不完！
這就叫乙個不收斂的變換！
咋辦哩？
用書上說到的「平均阻尼」術！
假設你發現乙個人左眼2cm，右眼5cm，合理的眼睛長度應該是兩個眼睛長度的平均數吧！
應該是(2+5)/2，那就是3.4cm
假設左眼搞成3.4cm長，按秘籍計算的話，右眼應該是10/3.4=2.94左右。
左眼3.4cm，右眼2.94cm，還是大小眼，繼續平均一下，眼睛長度應該是(3.4+2.94)/2 吧，大概是3.17.
這就對了嘛，越來越接近了。
所以 x => (x + x/10)/2 這個變化是收斂的。
我們最終能夠整出一對漂亮的雙眼了！ （上帝呀，千萬不要讓技術男去做整容醫師呀。）
回到題目的本身，題目是要求我們證明**切割率 φ 是變換函式 x => 1+ 1/x 的不動點。
**切割率φ是什麼？翻回書上的1.2.2節先看看:
φ=1.6180
他是怎麼求出來的呢，他是按等式φ^2=φ+1求出來的。
也就是說，假設有x^2=x+1，那麼x就是**切割率。
事實上兩個都對，所謂**切割，就是把乙個線段ab分成兩段，各自是ao和ob，假設ab/ao=ao/ob，那麼這個線段ab就被「**切割」了，這時候假設我們把**切割率記錄成ab/ao就是1.618，反過來假設我們記錄成ao/ab就是0.618，這也是**切割率迷人的地方，由於1/1.618=0.618。
好，方便起見，我們就用x^2=x+1這個表示式吧，我們要證明函式1+1/x的不動點x滿足x^2=x+1。
有了上面的一系列分析，你會發現問題不是太難。
我們有乙個函式f(x)=1+1/x，還是用x1和x2兩個數，x1表示函式輸出，x2表示函式輸入，就有：
x1=1+1/x2
當我們找到函式f(x)=1+1/x的不動點的時候，意味著f(x)=x，就是說x1=x2。
上面的等式就變為x1=1+1/x1，這時候兩邊都乘以x1，就有x1^2=x1+1。
哈哈，就是說函式f(x)=1+1/x的不動點x滿足方程x^2=x+1，滿足方程x^2=x+1的就是φ！
題目的後半部分還要求我們依據這個事實使用fixed-point函式求φ，這就簡單了
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