演算法的時間複雜度（一）

**：

2.9 演算法的時間複雜度

2.9.1 演算法時間複雜度定義

在進行演算法分析時，語句總的執行次數t(n)是關於問題規模n的函式，進而分析t(n)隨n的變化情況並確定t(n)的數量級。演算法的時間複雜度，也就是演算法的時間量度，記作：t(n) = o(f(n))。它表示隨問題規模n的增大，演算法執行時間的增長率和f(n)的增長率相同，稱作演算法的漸近時間複雜度，簡稱為時間複雜度。其中f(n)是問題規模n的某個函式。

這樣用大寫o()來體現演算法時間複雜度的記法，我們稱之為大o記法。

一般情況下，隨著n的增大，t(n)增長最慢的演算法為最優演算法。

顯然，由此演算法時間複雜度的定義可知，我們的三個求和演算法的時間複雜度分別為o(n)，o(1)，o(n2)。我們分別給它們取了非官方的名稱，o(1)叫常數階，o(n)叫線性階，o(n2)叫平方階，當然，還有其他的一些階，我們之後會介紹。

2.9.2 推導大o階方法

那麼如何分析乙個演算法的時間複雜度呢？即如何推導大o階呢？我們給出了下面的推導方法，基本上，這也就是總結前面我們舉的例子

推導大o階1.用常數1取代執行時間中的所有加法常數。

2.在修改後的執行次數函式中，只保留最高端項。

3.如果最高端項存在且不是1，則去除與這個項相乘的常數。

得到的結果就是大o階。

哈，彷彿是得到了遊戲攻略一樣，我們好像已經得到了乙個推導演算法時間複雜度的萬能公式。可事實上，分析乙個演算法的時間複雜度，沒有這麼簡單，我們還需要多看幾個例子。

2.9.3 常數階

首先順序結構的時間複雜度。下面這個演算法，也就是剛才的第二種演算法，為什麼時間複雜度不是o(3)，而是o(1)。

int sum = 0,n = 100; /*執行一次*/

sum = (1+n)*n/2; /*執行一次*/

printf("%d", sum); /*執行一次*/

這個演算法的執行次數函式是f(n)=3。根據我們推導大o階的方法，第一步就是把常數項3改為1。在保留最高端項時發現，它根本沒有最高端項，所以這個演算法的時間複雜度為o(1)。

另外，我們試想一下，如果這個演算法當中的語句sum=(1+n)*n/2有10句，即：

1
int sum = 0, n = 100; /*
執行一次
*/2 sum = (1+n)*n/2; /*
執行第1次
*/3 sum = (1+n)*n/2; /*
執行第2次
*/4 sum = (1+n)*n/2; /*
執行第3次
*/5 sum = (1+n)*n/2; /*
執行第4次
*/6 sum = (1+n)*n/2; /*
執行第5次
*/7 sum = (1+n)*n/2; /*
執行第6次
*/8 sum = (1+n)*n/2; /*
執行第7次
*/9 sum = (1+n)*n/2; /*
執行第8次
*/10 sum = (1+n)*n/2; /*
執行第9次
*/11 sum = (1+n)*n/2; /*
執行第10次
*/12 printf("
%d",sum); /*
執行一次
*/

事實上無論n為多少，上面的兩段**就是3次和12次執行的差異，這種與問題的大小無關（n的多少），執行時間恆定的演算法，我們稱之為具有o(1)的時間複雜度，又叫常數階。

注意，不管這個常數是多少，我們都記作o(1)，而不能是o(3)、o(12)等其他任何數字。這是初學者常常犯的錯誤。

對於分支結構而言，無論是真，還是假，執行的次數都是恆定的，不會隨著n的變大而發生變化，所以單純的分支結構（不包含在迴圈結構中），其時間複雜度也是o(1)。

2.9.4 線性階

迴圈結構就會複雜很多。要確定某個演算法的階次，我們常常需要確定某個特定語句或某個語句集執行的次數。因此，我們要分析演算法的複雜度，關鍵就是要分析迴圈結構的運**況。

下面這段**，它的迴圈的時間複雜度為o(n)。因為迴圈體中的**須要執行n次。

int i;

for(i = 0; i

2.9.5 對數階

那麼下面的這段**，時間複雜度又是多少呢？

1
int count = 1;2
while (count 
3

由於每次count乘以2之後，就距離n更近了一分。也就是說，有多少個2相乘後大於n，則會退出迴圈。由2x=n得到x=log2n。所以這個迴圈的時間複雜度為o(logn)。

2.9.6 平方階

下面的例子是乙個迴圈巢狀，它的內迴圈剛才我們已經分析過，時間複雜度為o(n)。

1
inti,j;
2for(i = 0; i < n; i++)
3 
8 }

而對於外層的迴圈，不過是內部這個時間複雜度為o(n)的語句，再迴圈n次。所以這段**的時間複雜度為o(n2)。

如果外迴圈的迴圈次數改為了m，時間複雜度就變為o(m×n)。

1
inti,j;
2for(i = 0; i < m; i++)
3 
8 }

所以我們可以總結得出，迴圈的時間複雜度等於迴圈體的複雜度乘以該迴圈執行的次數。

那麼下面這個迴圈巢狀，它的時間複雜度是多少呢？

1
inti,j;
2for(i = 0; i < n; i++)
3 
8 }

由於當i = 0時，內迴圈執行了n次，當i = 1時，執行了n－1次，……當i = n－1時，內迴圈執行了1次。所以總的執行次數為

用我們推導大o階的方法，第一條，沒有加法常數不予考慮；第二條，只保留最高端項，因此保留n2/2；第三條，去除這個項相乘的常數，也就是去除1/2，最終這段**的時間複雜度為o(n2)。

從這個例子，我們也可以得到乙個經驗，其實理解大o推導不算難，難的是對數列的一些相關運算，這更多的是考察你的數學知識和能力，所以想考研的朋友，要想在求演算法時間複雜度這裡不失分，可能需要強化你的數學，特別是數列方面的知識和解題能力。

我們繼續看例子，對於方法呼叫的時間複雜度又如何分析。

int i,j;

for(i = 0; i

上面這段**呼叫乙個函式function。

void function(int count)

函式體是列印這個引數。其實這很好理解，function函式的時間複雜度是o(1)。所以整體的時間複雜度為o(n)。

假如function是下面這樣的：

1
void function(int
count)
2 
8 }

事實上，這和剛才舉的例子是一樣的，只不過把巢狀內迴圈放到了函式中，所以最終的時間複雜度為o(n2)。

下面這段相對複雜的語句：

1 n++;       /*
執行次數為1
*/2 function(n); /*
執行次數為n*/3
inti,j; 
4for(i = 0; i < n; i++) /*
執行次數為n2*/5
8for(i = 0; i < n; i++) /*
執行次數為n(n + 1)/2*/9
14}15

它的執行次數

常見的時間複雜度，按數量級遞增排列依次為：

常數階o(1)、

對數階o(log2n)、

線性階o(n)、

線性對數階o(nlog2n)、

平方階o(n^2)、

立方階o(n^3)、

k次方階o(n^k)、

指數階o(2^n)。

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演算法時間複雜度空間複雜度

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