最近做題，老是遇到了一些公式比如an=an-1+an-2，然後給你乙個巨大n的資料，要你求an的值，然後以前做起來，還是比較的順手的，但是時間抹去了記得的記憶，說明沒有學會，於是又花掉一些時間，來回顧以及學習快速矩陣演算法。
其實，每一次我們想到快速矩陣的時候，就可能會產生乙個問題？ 矩陣該怎麼構造，在已經知道了公式的情況下。
不妨以乙個我們所收悉的列子：(引自一位 )
求fibonacci數列第n項的方法是 構造常係數矩陣
（一） fibonacci數列f[n]=f[n-1]+f[n-2],f[1]=f[2]=1的第n項快速求法（不考慮高精度）
解法：考慮1×2的矩陣|f[n-2],f[n-1]|。根據fibonacci數列的遞推關係，我們可以通過乘以乙個2×2的矩陣a，得到矩陣：|f[n-1],f[n]|。
即：|f[n-2],f[n-1]|*a = 【f[n-1],f[n]】=【f[n-1],f[n-1]+f[n-2]】
很容易構造出這個2×2矩陣a，即：
０ １
１ １所以，有【f[1],f[2]】×a＝【f[2],f[3]】
又因為矩陣乘法滿足結合律，故有：
【f[1],f[2]】×a ^(n-1) =【f[n],f[n+1]】
這個矩陣的第乙個元素f[n]即為所求。
（二） 數列f[n]=f[n-1]+f[n-2]+1,f[1]=f[2]=1的第n項的快速求法（不考慮高精度）
解法：仿照前例，考慮1×3的矩陣【f[n-2],f[n-1],1】，希望求得某3×3的矩陣a，使得此1×3的矩陣乘以a得到矩陣：【f[n-1],f[n],1】
即：【f[n-2],f[n-1],1】* a ＝【f[n-1],f[n],1】=【f[n-1],f[n-1]+f[n-2]+1,1】
容易構造出這個3×3的矩陣a，即：
０ １ ０
１ １ ０
０ １ １
故：【f[1],f[2],1】* a^(n-1) = 【f[n],f[n+1],1】
（三）數列f[n]=f[n-1]+f[n-2]+n+1,f[1]=f[2]=1的第n項的快速求法（不考慮高精度）.
解法：仿照前例，考慮1×4的矩陣【f[n-2],f[n-1],n,1】，希望求得某4×4的矩陣a，使得此1×4的矩陣乘以a得到矩陣：【f[n-1],f[n],n+1,1】
即：【f[n-2],f[n-1],n,1】* a = 【f[n-1],f[n],n+1,1】＝【f[n-1],f[n-1]+f[n-2]+n+1,n+1,1】
容易構造出這個4×4的矩陣a，即：
０ １ ０ ０
１ １ ０ ０
０ １ １ ０
０ １ １ １
故：【f[1],f[2],3,1】* a^(n-1) = 【f[n],f[n+1],n+2,1】
（四） 數列f[n]=f[n-1]+f[n-2],f[1]=f[2]=1的前n項和s[n]=f[1]+f[2]+……+f[n]的快速求法（不考慮高精度）.
解法：仿照之前的思路，考慮1×3的矩陣【f[n-2],f[n-1],s[n-2]】，我們希望通過乘以乙個3×3的矩陣a，得到1×3的矩陣：【f[n-1],f[n],s[n-1]】
即：【f[n-2],f[n-1],s[n-2]】 * a = 【f[n-1],f[n],s[n-1]】=【f[n-1],f[n-1]+f[n-2],s[n-2]+f[n-1]】
容易得到這個3×3的矩陣a是：
０ １ ０
１ １ １
０ ０ １
這種方法的矩陣規模是(r+1)*(r+1)
f(1)=f(2)=s(1)=1 ，所以，有
【f(1),f(2),s(1)】* a = 【f(2),f(3),s(2)】
故：【f(1),f(2),s(1)】* a^(n-1) = 【f(n),f(n+1),s(n)】
（五） 數列f[n]=f[n-1]+f[n-2]+n+1,f[1]=f[2]=1的前n項和s[n]=f[1]+f[2]+……+f[n]的快速求法（不考慮高精度）.
解法：考慮1×5的矩陣【f[n-2],f[n-1],s[n-2],n,1】,
我們需要找到乙個5×5的矩陣a，使得它乘以a得到如下1×5的矩陣【f[n-1],f[n],s[n-1],n+1,1】
即：【f[n-2],f[n-1],s[n-2],n,1】* a =【f[n-1],f[n],s[n-1],n+1,1】
=【f[n-1], f[n-1]+f[n-2]+n+1,s[n-2]+f[n-1],n+1,1】
容易構造出a為：
０ １ ０ ０ ０
１ １ １ ０ ０
０ ０ １ ０ ０
０ １ ０ １ ０
０ １ ０ １ １
故：【f(1),f(2),s(1),3,1】* a^(n-1) = 【f(n),f(n+1),s(n),n+2,1】
一般地，如果有f[n]=p*f[n-1]+q*f[n-2]+r*n+s
可以構造矩陣a為：
0 q 0 0 0
1 p 1 0 0
0 0 1 0 0
0 r 0 1 0
0 s 0 1 1
更一般的，對於f[n]=sigma(a[n-i]*f[n-i])+poly(n)，其中0
例如：a(0) = 1 , a(1) = 1 , a(n) = x * a(n - 1) + y * a(n - 2) (n >= 2)；給定三個值n，x，y求s(n):s(n) = a(0)2 +a(1)2+……+a(n)2。
解：考慮1*4 的矩陣【s[n-2],a[n-1]^2,a[n-2]^2,a[n-1]*a[n-2]】
我們需要找到乙個4×4的矩陣a，使得它乘以a得到1×4的矩陣
【s[n-1],a[n]^2,a[n-1]^2,a[n]*a[n-1]】
即：【s[n-2],a[n-1]^2,a[n-2]^2,a[n-1]*a[n-2]】* a = 【s[n-1],a[n]^2,a[n-1]^2,a[n]*a[n-1]】
= 【s[n-2]+a[n-1]^2 , x^2 * a[n-1]^2 + y^2 * a[n-2]^2 + 2*x*y*a[n-1]*a[n-2] ,
a[n-1]^2 , x*a[n-1]^2 + y*a[n-2]a[n-1]】
可以構造矩陣a為：
1 0 0 0
1 x^2 1 x
0 y^2 0 0
0 2xy 0 y
故：【s[0],a[1]^2,a[0]^2,a[1]*a[0]】 * a^(n-1) = 【s[n-1],a[n]^2,a[n-1]^2,a[n]*a[n-1]】
所以：【s[0],a[1]^2,a[0]^2,a[1]*a[0]】 * a^(n) = 【s[n],a[n+1]^2,a[n]^2,a[n+1]*a[n]】
若a = (b * c ) 則at = ( b * c )t = ct * bt 故
高數 08 03 齊次方程
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