會識別齊次方程，會求解形如
dydx
=φ(y
x)的方
程叫做齊
次方程
解法:令
u=yx
,則y=
ux,d
ydx=
u+xd
udx,
代入原方
程:u+
xdud
x=φ(
u)分離
變數:d
uφ(u
)−u=
dxx兩
邊積分,
得:∫d
uφ(u
)−u=
∫dxx
積分後再
用yx代
替u,便
得原方程
的通解.
例1.解微分方
程y′=
yx+tanyx
. 解:
令u=y
x,則y
′=u+
xu′,
代入原方
程得:u
+xu′
=u+tanu分
離變數:
cosu
sinudu
=dxx
兩邊積分
:ln|sinu|
=ln|x
|+ln|
c|,即
sinu=c
x故原方
程通解為
sinyx=
cx(c
為任意常
數)(當
c=0時
,y=0
也是方程
的解)
例2.解
微分方程
(y2−
2xy)
dx+x
2dy=
0. 解:
(y2−
2xy)
dx=−
x2dy
dydx
=−y2
−2xy
x2=2
yx−(
yx)2
令u=y
x,則有
u+xu
′=2u
−u2分
離變數:
duu2
−u=−
dxx即
:(1u
−1−1
u)du
=−dx
x積分得
ln|u−
1u|=
−ln|x
|+ln|
c|u−
1u=c
x代回原
變數得通
解x(y
−x)=
cy(c
為任意常
數)說明
:顯然x
=0,y
=0,y
=x也是
原方程的
解,但在
求解過程
中丟失了
例3.解微分方
程(x+
2y)d
x−xd
y=0
解:dy
dx=1
+2yx
令u=y
x,u+
xu′=
1+2u
du1+
u=dx
x(x≠
0,y≠
−x)積
分得:ln
|1+u
|=ln|
x|+ln
|c|1
+u=c
x1+y
x=cx
x+y=
cx2(
c為任意
常數)(
x=0,
y=−x
也是方程
的解)
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