高次方程在高中階段，也就是在求解過點處的切線、穿根法求解不等式、等比數列中碰到過，不是很多。高次代數式可能出現在導數判斷單調性中。
高次方程指次數等於或者大於 \(3\) 次的方程，高中學生主要求解的方程的次數大多是 \(2\) 次的方程，所以對高次方程的求解比較陌生。
與求解高次方程有關的方法主要有：試商法、多項式除法、分組分解法、十字相乘法、換元法等；
求曲線\(c:y=\cfracx^3+\cfrac\)經過點\(p(2，4)\)的切線方程；（\(4x-y-4=0\)或\(x-y+2=0\)）
思路：設經過點\(p(2，4)\)的切線方程與曲線相切於點\(p_0(x_0，y_0)\)，則有
\(\beginy_0=\cfracx_0^3+\cfrac\\ k=f'(x_0)=x_0^2\\ y-y_0=f'(x_0)(x-x_0) \end\)
又因為點\(p(2，4)\)在切線方程上，則有\(4-(\cfracx_0^3+\cfrac)=x_0^2(2-x_0)\)
整理得到，\(x_0^3-3x_0^2+4=0\)
警示，此處有多個難點：試商法，多項式除法，分組分解法；
【試商法】：令\(x_0=0\)，如果上述方程成立，說明方程能分解出因子\(x_0\)，本題目中顯然不成立；再令\(x_0=1\),上述方程不成立，說明方程不能分解出因子\(x_0-1\)；再令\(x_0=-1\),上述方程成立，說明方程能分解出因子\(x_0+1\)；這樣\(x_0^3-3x_0^2+4\)
\(=(x_0+1)\)
\((x_0^2+bx_0+c)\)(\(b\)，\(c\)是常數，待定)，這樣做的目的是為了降次；
【分組分解法】：由試商法可以指導我們的分組分解的方向，
如\(x_0^3-3x_0^2+4=(x_0^3+1)-3(x_0^2-1)\)
\(=(x_0+1)(x_0^2-x_0+1)-3(x_0+1)(x_0-1)\)
\(=(x_0+1)(x_0^2-x_0+1-3x_0+3)\)
\(=(x_0+1)(x_0-2)^2=0\)；
【多項式除法】：如圖所示，
即\((x_0+1)(x_0-2)^2=0\)，解得\(x_0=-1\)，或\(x_0=2\)
當\(x_0=-1\)時，切點為\((-1，1)\)，\(k_1=1\)，切線方程為\(x-y+2=0\)；
當\(x_0=2\)時，切點為\((2，4)\)，\(k_2=4\)，切線方程為\(4x-y-4=0\)；
【2021屆高三文科資料用題】設數列 \(\\}\) 是等比數列， 前 \(n\) 項和為 \(s_\)， 若 \(s_=3a_\)， 則公比 \(q\)=______________.
法1： 分類討論法，針對 \(q\) 分類討論如下：
當 \(q\neq 1\) 時， 由題意得到， \(\cfrac(1-q^)}=3a_q^\)，
即 \(1-q^=3q^-3q^\)，整理得 \(2q^-3q^+1=0\)，
[備註：接下來可以使用試商法，得到\(q=1\)為其乙個根，另外還可以使用多項式除法求解剩餘的因式，此處我們往往可以降低難度，使用初中的因式分解法]
則\(2q^-2-3q^+3=0\)，即\(2(q^-1)-3(q^-1)=0\)，則\(2(q-1)(q^2+q+1)-3(q-1)(q+1)=0\)，
即\((q-1)(2q^2-q-1)=0\)，即\((q-1)^2(2q+1)=0\)，
解得 \(q=-\cfrac\)，或 \(q=1\)(捨去)；
當 \(q=1\) 時，即 \(s_=3a_1=3a_\)，顯然成立.
故 \(q=-\cfrac\) 或 \(1\)；
法2：使用求和的定義式求解，有效避免分類討論；
由於 \(s_=3a_\)，即 \(a_1+a_2+a_3=3a_3\)，即 \(a_1+a_2-2a_3=0\)，
由於數列 \(\\) 為等比數列，故 \(a_1+a_1q-2a_1q^2=0\)，
即\(2q^2-q-1=0\)， 解得 \(q=-\cfrac\) 或 \(1\)；
計算: \(sin18^=\cfrac-1}\)
分析： 由於\(sin3\theta=3sin\theta cos^2\theta-sin^3\theta\)，\(cos2\theta=cos^2\theta-sin^2\theta\)，
又由於\(\sin54^=\cos36^\)，且\(\sin54^=\sin(3\times 18^)\)，\(\cos36^=\cos(2\times18^)\)，
可得\(3sin18^cos^218^-sin^318^=cos^218^-sin^218^\).
整理得到，\(4sin^318^-2sin^218^-3sin18^+1=0\)，
用試商法嘗試分解\(x=1\)為其乙個根，
故可以分解為\((sin18^-1)(4sin^218^+2sin18^-1)=0\)，
\(sin18^=1\)捨去，由\(4sin^218^+2sin18^-1=0\)，
得到\(sin18^=\cfrac}=\cfrac}\)，
捨去負值，得到\(sin18^=\cfrac-1}\)，
即\(2sin18^=\cfrac-1}\)。
【因式分解案例】令 \(g(x)=\cfracx^3-x-1}\)，求導並加以整理變形；
解析： \(g'(x)=\cfracx^3-x-1)'\cdot x^2-(e^x-\fracx^3-x-1)\cdot 2x}\)
\(=\cfracx^2-1)\cdot x^2-(e^x-\fracx^3-x-1)\cdot 2x}\)
\(=\cfracx^2-1)\cdot x-(e^x-\fracx^3-x-1)\cdot 2}\)
\(=\cfracx^3-x-2e^x+x^3+2x+2}\)
\(=\cfracx^3+x+2}\)
到此，我們的思維大多就停滯了，難點在分子的三次多項式 \(-\cfracx^3+x+2\) 的分解上，
此時，用試商法得到，\(x=2\)為其乙個根，故分組分解如下，
\(-\cfracx^3+x+2=-\cfracx^3+4+x-2\)
\(=-\cfrac(x^3-2^3)+(x-2)=-\cfrac(x-2)(x^2+2x+4)+(x-2)\)
\(=(x-2)(-\cfracx^2-x-1)\)，
故接上得到，
\(g'(x)=\cfracx^3+x+2}=\cfracx^2-x-1)}\)
求解 \(4\cos^4\theta-17\cos^2\theta+4=0\)
解析： 將方程變形為 \((4\cos^2\theta-1)(\cos^2\theta-4)=0\)，
則 \(\cos^2\theta=\cfrac\) 或 \(\cos^2\theta=4\) (捨去)，
則 \(\cos\theta=\pm\cfrac\)，
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