高數 5 微分方程

今天是我準備考研的第五天，看到微分方程

解微分方程的基本思想就是分類，然後根據不同的類別採取不同的方式，沒有乙個通用的方式

大的分類是按階數分類，一階，二階，高階

一，一階微分方程

一階又分為線性和非線性

1，一階非線性微分

非線性沒有一般方法，都是一些特殊技巧

一是分離變數，二是化為齊次方程，三是化為齊次方程的方程，四就是伯努力方程特點是有y的n次方，方法是轉換為線性微分

2，一階線性微分

線性的思想源於齊次分離變數然後積分，非齊次就是把常係數c換成關於x的變係數，得到c（x）與q（x）p（x）的關係

二，二階微分方程

二階微分方程我們只解決一些特殊的就行了，比如常係數線性二階微分方程，特點是和顯x無關，這樣的話，想到e^x的導數還是自己，就得到乙個特徵方程，可以得到特解，這樣想得到兩個不想管特解，即x1/x2不為常數，就得分析特徵方程的解，兩個不同，兩個相同，或共軛復根。再由齊次到非齊次。

三，高階微分方程

高階微分方程我們也是只解決一些特殊的，比如可以降階的，常係數的，

四，特殊方法

變數代換，以及xy對調等。

五，總結

微分方程的本質是描述變化率與變數之間的關係，但是我們想由這些關係得到實際變數之間的關係，這就需要知道初始條件及通解。得到通解的辦法是什麼呢？縱觀整個微分方程解的推導思路，都是由結果導向猜測可能的解，然後代入微分方程來推導這個可能的表示式。