形如\(f(x,y,y',...,y^)=0\)
求\(y=f(x,y)\)
階：方程中導數的最高端數
解：y=y(x)
通解：\(y=y(x,c_i)\),當引數c有n個（n為方程的階）時，為通解
特解：略
形如\(y'=f(x)g(y)\)
解法：\[\frac=f(x)\\\int l=\int r\\
\int \frac=\int f(x)dx
\]形如\(\frac=f(ax+by+c)\)
解法：\[u=ax+by+c\\
\frac=a+b\frac\\
\frac=a+bf(u)\\
\frac=dx\\
\int l=\int r
\]形如\(\frac=\varphi(\frac)\)
解法：\[u=\frac\\y'=(ux)'\\tips:u=u(x)\\\frac=u+x\frac\\u+x\frac=\varphi(u)\\分離得\int\frac=\int\frac
\]形如\(y'+p(x)y=q(x)\)
key:\(p(x)\)的處理
key:\((e^)'=p(x)e^\)
\[y'+py=y^n
\]key:assign $z=y^
齊次:\[y=c_1y_1+c_2y_2
\]其中y1y2為互不相關的通解.
非齊次:
齊次的通解+非齊次的特解
有y'',y',x的:assign\(u=y'\)
有y'',y',y的:assign\(p=y',y''=\frac\cdot\frac=p\frac\)
形如\[y''+py+qy=0
\]有特徵方程\(\lambda^2+p\lambda+q=0\)
針對該方程有幾個處理方式:
\(\lambda\)有不同實數解時:通解為\(y=c_1e^+c_2e^\)
有重根時\(y=(c_1+c_2x)e^\)
有虛數根\(\alpha\pm\beta i\)時\(y=e^(c_1\sin\beta x+c_2\cos\beta x)\)
對於形如\(e^\lambda x\sum_m a_ix^i\)的附加項,有特解形式\(y^*=x^k\sum_m p_ix^ie^\)
對於形如\(e^(\sum_m a_ix^i\cos wx+\sum_n b_ix^i\sin wx)\)的,有特解形式\(y^*=x^k(\sum_ u_ix^i\cos wx+\sum_ v_ix^i\sin wx)\)
解釋:
微分方程 微分方程 高階微分方程組理論
附 微分方程的分類 常微分方程和偏微分方程。1 常微分方程 ode 是指微分方程的自變數只有乙個的方程。最簡單的常微分方程，未知數是乙個實數或是複數的函式，但未知數也可能是乙個向量函式或是矩陣函式，後者可對應乙個由常微分方程組成的系統。2 偏微分方程 pde 是指微分方程的自變數有兩個或以上，且方程...
微分方程 微分方程通殺篇
前言 下面有些說法不是很嚴謹，主要目的是傳達解題思想而已 微分方程對於我們的要求就只是要求會計算一階和二階微分方程就好，而且都是很基礎的。但是由於二階微分方程我們只學了二階常係數微分方程，但是有時會出現不是常係數的情況，所以這裡我打算稍微總結一下。一般考試 現的微分方程如果是一階方程，那麼不用想它一...
常微分方程
微分方程這裡，感覺難度明顯上來了。核心思路，消去微分 分離變數法，想方設法分離變數 齊次微分方程 對於無法直接分離變數的方程，如果是y和x的次數一樣，並且不含常數項。可以可以化為齊次，變數代換求解 一階線性微分方程 常數變易法。常數變易法我覺得關鍵是變和易，因為先當作乙個常數0，是比較容易解決的。然...