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直接解得∫g(y)dy=∫f(x)dx
設g(y)及f(x)的原函式依次為g(y)及f(x),則g(y)=f(x)+c為微分方程的隱式通解
2.齊次方程解法 一般形式:dy/dx=φ(y/x)
令u=y/x則y=xu,dy/dx=u+xdu/dx,
所以u+xdu/dx=φ(u),即du/［φ(u)-u］=dx/x
兩端積分,得∫du/［φ(u)-u］=∫dx/x
最後用y/x代替u,便得所給齊次方程的通解
3.一階線性微分方程解法 一般形式:dy/dx+p(x)y=q(x)
先令q(x)=0則dy/dx+p(x)y=0
解得y=ce－∫p(x)dx,再令y=ue－∫p(x)dx代入原方程
解得u=∫q(x) e∫p(x)dxdx+c,所以y=e－∫p(x)dx［∫q(x)e∫p(x)dxdx+c］
即y=ce－∫p(x)dx+e－∫p(x)dx
∫q(x)e∫p(x)dxdx為一階線性微分方程的通解
4.可降階的高階微分方程解法
①y(n)=f(x)型的微分方程
y(n)=f(x)
y(n-1)= ∫f(x)dx+c1
y(n-2)= ∫［∫f(x)dx+c1］dx+c2
依次類推,接連積分n次,便得方程y(n)=f(x)的含有n個任意常數的通解
②y」=f(x,y』) 型的微分方程
令y』=p則y」=p』,所以p』=f(x,p),再求解得p=φ(x,c1) 即dy/dx=φ(x,c1),所以y=∫φ(x,c1)dx+c2
③y」=f(y,y』) 型的微分方程
令y』=p則y」=pdp/dy,所以pdp/dy=f(y,p),再求解得p=φ(y,c1)
即dy/dx=φ(y,c1),即dy/φ(y,c1)=dx,所以∫dy/φ(y,c1)=x+c2
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