7. (marcus-ree) 乙個非負矩陣稱為是雙隨機的, 若它的每行元素之和等於 $1$, 且它的每列元素之和也等於 $1$. 設 $a=(a_)$ 為 $n$ 階雙隨機矩陣, 則存在 $1,2,\cdots,n$ 的乙個排列 $\sigma$ 使得對每個 $i=1,\cdots,n$, $$\bex a_\geq \sedd \cfrac,&n=2k,\\ \cfrac,&n=2k+1. \ea} \eex$$
證明: (1) 我們先把定理 2.15 (k\"onig) 推廣一下: 設 $a\in m_$ 是乙個實矩陣, $m\leq n$, $a\in\bbr$, 則 $a$ 的每條對角線都至少含有 $k$ 個元素 $
(2) 往證題目. 若結論不成立, 則 $a$ 的每條對角線至少有乙個元素 $\sum b=\sum e+1\geq 1, \eex$$ $$\bee\label a>\frac=\frac. \eee$$ 但 \eqref 不成立, 而證完題目. 事實上, 當 $n=2k$ 時, $$\bex \frac =\frac \geq \frac=\frac=a; \eex$$ 當 $n=2k+1$ 時, $$\bex \frac =\frac \geq\frac =\frac=a. \eex$$
詹興致矩陣論習題參考解答 習題1 8
8.證明任何乙個復方陣都酉相似於某個對角元素全部相等的矩陣.證明 1 先證每個跡為零的矩陣都酉相似於對角元素全為零的矩陣.對階 n 作數學歸納法.當 n 1 時,結論自明.假設結論對階 leq n 1 時都成立,則當階為 n 時,bex a a quad tr a a cdots a 0.eex 若...
詹興致矩陣論習題參考解答 習題3 15
15.設 s n a,b 表示所有元素屬於給定的區間 a,b 的 n 階實對稱矩陣的集合.對於 j 1,n 確定 bex max sed mbox min sed,eex 以及分別取到最大值和最小值的矩陣.解答 對 0 neq x in bbr n beex bea quad x tax x tp ...
詹興致矩陣論習題參考解答 習題6 4
4.設 a 是個不可約非負方陣,0 leq t leq 1 則 bex rho ta 1 t a t geq rho a eex 證明 1 先證明 bex 0 leq x,y in bbr n,sum n x i sum n y i 0 ra prod n y i leq prod n x i ee...