鬼畜的多項式

寫點做多項式筆記以及遇到的各種蛋疼的東西....（不懂可以q我辣我十分願意！

（picks部落格已經成為中國多項式入門到精通的經典教程辣！詳見：

裸的fft= =複數搞搞

對於一些要對係數取模而取的模十分鬼畜即滿足存在$k$，使得$2^k | (p-1) 且 2^k > n$時那麼可以用乙個$p$的原根代替複數根，即用$g^}$代替fft裡的單位根$\omega ^ }$。其逆為$n^ g^}$。容易證明這是正確的。（可以照著算導對單位根的所需要性質然後來證明）

這個求逆指的是對乙個$mod$特定次數的$x$求逆，例如求$a(x)$在模$x^n$下的逆，即求乙個$b(x)$使得$a(x)b(x) \equiv 1 \pmod$，這個用倍增的思想容易得到

$$ b_(x) \equiv b_ \right \rceil } \left( 2 - a(x)b_ \right \rceil } \right) \pmod $$

$b_(x)$指的是在模$x^n$下的$a$的逆

這裡一定注意在碼的時候，右式得到的次數界應該大於等於$n+n$（在這裡大於的部分被模掉了！）的啊...不要以為是$n+\left \lceil \frac \right \rceil +1$啊555，在這裡wa了好多發啊qaq

指的是給出$a(x), b(x)$求$a(x) = b(x)c(x) + d(x)$，其中滿足$deg(a)=deg(b)+deg(c), deg(d)這裡需要用點技巧orz如果能想到翻轉多項式那麼這題就好做了orz令$f^(x)$表示將多項式$f(x)$係數前後翻轉後的多項式，即$f^(x) = x^ f(\frac)$。那麼我們將$\frac$先帶入$a(x) = b(x)c(x) + d(x)$並乘上乙個$x^$最後化簡能得到就能得到

$$a^r(x) \equiv b^r(x)c^r(x) \pmod}$$

取模也相應解決了

指的是在模$x^n$的意義下給出$a(x)$，求$\sqrt$。那麼能開根的條件就是$a(x)$的最低次是2的倍數且係數能被開根。

如果想到倍增這個問題也是很好解決的...最終得到

$$a \equiv \left( 2^ a_ \right \rceil } + 2^ a a_ \right \rceil }^ \right)^2 \pmod$$

下標的意義同求逆那裡。（$a_$表示$a_^2 \equiv a \pmod$

要注意的和求逆那裡一樣，右式次數界同樣是大於等於$n+n$且求逆的時候是取模$x^n$下的逆，因為$a_ \right \rceil }^$的次數界可能為$n$。

對應的例題看picks部落格辣= =

多項式求逆：【bzoj】3456: 城市規劃

#include using namespace std;
typedef long long ll;
const int n=130050, fn=n<<2;
const ll mo=1004535809;
ll g[35], ng[35];
int rev[fn];
ll ipow(ll a, int b) 
void fft(ll *a, int n, int f) 
void p(int *a, int n) 
void fft_init() 
int getlen(int n) 
void fft_init() 
int getlen(int n) 
int a[n], b[n];
int main() 
a[0]=1;
getroot(a, b, m+1);
b[0]=(b[0]+1)%mo;
getinv(b, a, m+1);
for(int i=1; i<=m; ++i) printf("%d\n", (a[i]<<1)%mo);
return 0;
}

鬼畜的多項式

MATLAB多項式及多項式擬合

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